=1=1 =1∮=1 ∑E0104∑11 -1=1 =1 ∑∑04=2AM△ =1Ja1 在这些计算中我们利用了 因为f△1CM乐A 从得到的积分和之差的估计推出:如果函数f满足在命题2 中说的充分条件则对每个>0都能找到δ>0使得对于区闻 的参数P)<的分划P以及P的开拓P,关于任意取的标志 点5和3都有 (1(,3)-0((2,9)<2 如果(P,5)和(P,")是区间[c】的任意两个带栋志点的 分划且(P)<(PD2<2考察分划P=PUP,它是两个分 划P,P的开拓那末根据已经证明的事实,有 ((,3)-0(;(y,)|<2 ((,3)-0(,(Py)|< 油此得出 o((P,)-0(;(P",)<a 这样一来据柯西准则积分和的极限
lim 2f(5)Ar A(P)÷0 存在,亦即卢死n, 推论】(f∈C)=>(∈[,),亦即闭区间上的任 何连续函数在这个区间上可积 〈如果函数在闭区间上连续,则它在这个区间上有界,从而可 积性的必要条件成立,但是闭区间上的连续函数也一致连续,因 此对于任何e>0可以找到δ>,使在任何区间△c[,b上,只 要△的长小于4就有0(4)<于是对于任间分划P只 要其参数A)<d就有 根据命题2可以得到∫口,b1, 權论2如果定义在闭区间(6]上的有界函数∫在该区间 上最多除有限多个点外是连续的则cb 设(:16)<,而在[上有个间断点我 们来验证函数∫满足可积性的充分条件, 对于给定的→),取数b=0并做函数的每个间断点 的斜城减这些邻域的并关于区间1,的补集是由有限个区间 组成的,在每个这样的区间上∫都是连续的,从而是一致连续的 H这种区间只有有限多个对>0可以指定4>使在任何区 间△上只要它的长小于2且全部被包含在上面所说的使∫连线 的一个区间内,就有O(.)<,一现在取-m0小 设P是闭区间[,6的任意一个分划且(P)<6,与分划P 相应的和∑0A)△分成两部
20(:(=20(4):+20(4)x 在和Σ中包含了那样的项,与它相应的分划P的区间与 所做的间断点的-、邻城没有公共点,对于这样的区阆,有 0(;△)< 因此 o(;△)< (-) 容易看出,剩下来的分划P的区间的长度和不超过(6+24 6)k< =n,因此 8C·k20 ∑o,4C2:<C2=2 20 于是当A(P<6时,得到 由此f满足可积性的充分条件,从而23 推论3闭区间上的单调函数在该区间上可积 从函数f在闭区间[b]上的单调性推出 0(:6]=1f)-1(a) 设给定了2>取b=C,我们 f(6)-1() 我们假定f()-f( ≠因为在相反的形∫是常数,从而无疑是可秧的,设P是区 间[b的任意分划,且共参数(P)< 注意到f的单惆性,我们有 达满足可积性的充分条件即长2
单调函数可能是有无穷多个(何数多个)间断点涵歉.例 如在闭区间01]上由关系 1-≤r< 定义的函数是不减,面且在每个形如(N)的点处间斯 注我们指出,虽然我们讨论的是在闭区间上定义的实函数, 但是无论是在积分的定义中还是在上述那些斷言的证明中除去 推论3,并没用到函数是实值而不是复值或向量值这桦的假设 条件, 相反地,我们将要讨沦的上积分和与下积分和的概念则是专 对实值函数而言的 定义6设f:a4b]→R是定义在闭区间[4】上的有界实值 图数;P是区间,6的一个分划;A(i=,“,n)是分划P的区 m=inf f(3), M sup f(a)(i=1, " a ). IEA 和式 8:∑mA 以及 8(,P=∑Man =1 分别叫儆函数∫在区间[,6]上对应于分划P的下积分和与上积 分和和式8(:,S(也叫傲关于区间[】的分划P的下 达上达有和 如果(月是区间[的任一带杨走点的分觉】然有 8(;P≤o(;(2别)≤8P.(7)
引1 o(i P)=info(f; (P,5)), 8(;P)=supo(;(P,9) 我们来验证,例如对应于闭区间[c】]的分划P的上达布 和是对应于闭区间6的带标志点的分划(P的积分和之值 的上确界,这里的上确界是关于一切可能的标志点组ξ=(5υ¨ 到)取的 由(7)可见,只要证明:对于{何→>0可以找到标志点组,( 使成立不尊式 S(;P)<(;(P,)+ 根撸数M4的定义,对每个诋∈1,”,可以找到点乐∈△使 M乐(5)+x,设=(,“;5,那么 这就证明了引理的第二部分,它的第一部分的证明是类側的 引理的证明和不等式(7)考虑到黎曼积分的定义,可以推 断出下面命题是正确的 命题3有界实值函数∫{[n→R在闭区间[@矿上黎曼 可积的充分必要条件是极限 g=lim S(; P), g= lim &(; P) A(P)+0 A(P)中 存在月相箋浏贴它的公共值罗==等于积分 f(e)ds. 〈事实上如果()中两个极限存在并相等,则根据裰限的性 质从(7)得到积分和的极限的存在性,而且 g=lim o( (P, 5))=. A(P40