F(.然后,根据公式(1)将得到=(1)-F0) 在我们的情形()=2,E此 F(2)=2+,0=(1)-(013 这正是阿基米德的结果面他是用苴接计算(2)中的极酸得到的. 积分和的极限叫儆积分,这样,牛顿·莱布尼茨公式(1)就把 积分与原函数联系起来了 现在我们来精确地叙述并检验上边那些在般想象的户发式 叙述中得到的东西 幕曼积分的定义 .分划 定义1闭区间砂(<b)的分划P指的是由这个区间的 有限多个点zm…“,x1儆成的点组,其中a=<x<…<= 区间[x-12x](i=1,“,1)叫儆分划P的区间 分划P的最大区间长(P)叫儆分划P的参数 定义2如果P是闭区间[c上的一个分划,而且在它的每 个区间1本:中选定了一个点[x-1i=-1,,,则说 给出了区间4的一个带标志点的分划(P, 数组(51…,5用一个符号5表示, ,b.分划集的萋在给定闭区间[,b的带标志点的分划的集 合中考察如下的基={8.基的元素(C>0)是区间 b的切满足条件1P)<d的带标志点的分划(P,)的集合 我们来验证(B}(d>0)确实是③的基, 首先,同≠0,事实上对任何数心>显然存区[0矿 分划P,其参数(P)<(例如,分成罪个全等区间的分划).由 此也存在带标志点的分划(,且A(P)< 其次,如果Q<4,Q<以及4=min(4,则显端有
B4∩B2=B乐 因此={B确实是∞的基 c积分和 定义3如果函数∫在闭区间[c定义,而(P,是这个 区间的一个带标志点的分划,则和 G(;(,9)=∑)a (3) 讠=1 叫儆函数∫对应于区间b]的带标志点分划(,引)的积分和,其 中△x;=x4-14 达样对于确定的函数子,积分和O((,)是定义在区间 ]上的带标志点的分划=(P,)的集合上的图数p(?)= (;2 由于在中有基,所以可以提出函数(p)关于这个基的 极限的问题 d.黎曼积分设是给定在闭区间[a,b]上的函数, 定义4称数⑦是函数∫在闭区间,b上的梨曼积分,如果 对于任何>0可以找到δ>0,使对区间b]的任何带标志点的 ,分划(P,,只要其参数A(P)<,就有 因为满足1(P<的那些分划1=(P,组成了上面在带标1 志点的分划的集合④中引进的基怒的元素B所以定义4等价于 9=limp(p) 亦职:积分是函数对应于区间】的带标志点的分划的积 分和的光基的极限 用符号1(P)~0表示基是自然的,从而,积分定义可改 写康
界 g= lim 2f())4-=p (P) 的形式 函数(2在区间矿王的积分用符号 f(a ds 表示数分别叫儆积分的下假和上限;叫傚被积函数,f() 止叫儆被积表达式2叫做积分变量 于是, f(=)dz: =lim f(E5)4= (P)+0 dEl 定义5说函数广在闭区间(吗】上黎曼可积如果于在 ()中指出的积分和当从(P)→0时的极限存在(也就是说它的案 曼积分有定义) 在区间,b]上黎曼可积的函数全体所成的集合以闭可 由于我们智时不研究黎曼积分以外的其他积分,为简单起见, 我们约定分别以《积分》和可积函数?代替黎曼积分》和裳曼可 积函数》这两个术语 3可函撒集根据积分的定义4和它另外的形如(4)、6) 的表达,积分是一个特别函数0()=0(;(2)的极限,这个函 、数是定义在区间[b的带标志点的分划=(P,)鹉集上的积 分和这个极限是关于3的甚多取的,我们以1(2)240表示它 这样一来,函数∫在闭区间{马1】上莳可和菜决于上述极限 的存在, 根据柯西则,这个极限存在,当且仅当对于伍何→>0可以 找到元素,使在其中任何点?,?都成立关系 |()-()<
更详细地说这意味着:对任何可以找到△使对 区间[c任何带标志点的分地(P,),(P,5),只要1(P) <和(P少)<,就成立不等式 a(;(P,)~0(P",)K!: ∑82-】g014,(1 利用柯西准则,我们首先将得到函数黎曼可积的简单的必要 条件,然后得到一些充分条件, a.可积性纳必要条件 命题】为使定义在闭区间[上的函数∫在这个区间上 黎可积它必在这个区间上有界 AMAM MAM .黄单地说即 (∈c)→>(f在列上有界) 〈知果子在6上无界,则对区间[)的任一分划P,f至 少在它的一个区间x-x上无界,因此可以选出点乐∈[t- a]恻∫沁任意大于是只须改变点在这个区间中的位 置就能使积分和σ(;(,9)=∑(3)④x的绝对植任意 在这梨形下,积分和显然没有有限概限,同时,由柯西则 看出这时酚式(6)甚至秒无论多么细的分划都不全成立 将含乱这个必要务件距离可积性的必要充分条件还很远 但是,它货诉我们4后只须研究有界函数, b.可心南分秦件和最属要的可飘函撒类首先介绍 些下面用到的记号和知识 我们的定,当给定了区间,的一个分划P =x<x<x2<……<zn=b 时,与表示差x1-2随符号4x一起,我们还使用记号4表
间1212 如果这间(c的分是由分划P诼加丝新的分点得到 的,则说分划P是分划P的开拓 当把分划P开拓成P时,分划P的某些(可以是其全翻)区 间A=x2]被分料:1=20<(…<m=三,由于这个原 因約点朋两个标号驶方在动的一个指 表示xr」山,而第二个指标是在区间Δ上点的顺序号码现在 自然地应记 x:=x计-1和△小:=x12d 这样-4a=2n…+△rm 例如,由分划P和分划P"的点的并得到的分划P=PUp 同时是分划P和P的开拓 最;我们提醒注意,如同过去-*,符号O(;E表示函数 ∫在集合上的振幅,即 0(B:=:pf(t)-f(") r',r"∈ 特别地ω(;△)是函数∫在区间上的振幅,如果∫是有 界函数,这个振幅显然是有限的 现在我们来陈述并证明 命2为使闭区间[a,上的有界函数∫在这个区间上可 积只要对于任意的>能找到>4,使对区间[]的参数 (P)<6的分划P总成立关系 〈设P是区间b的一个分划,P是分划P的开拓我们来 估计积分和之差(,到)-0((P,3),利朋上面引进的符 号有