数学模型 112钢琴销售的存贮策略 背景与问题 钢琴销售量很小,商店的库存量不大以免积压资金 家商店根据经验估计,平均每周的钢琴需求为1架. 存贮策略:每周末检査库存量,仅当库存量为零时, 才订购3架供下周销售;否则,不订购 °估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大? 以及每周的平均销售量是多少?
11.2 钢琴销售的存贮策略 钢琴销售量很小，商店的库存量不大以免积压资金. 一家商店根据经验估计，平均每周的钢琴需求为1架. 存贮策略：每周末检查库存量，仅当库存量为零时， 才订购3架供下周销售；否则，不订购. • 估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大? 以及每周的平均销售量是多少? 背景与问题
数学模型 问题分析 顾客的到来相互独立,需求量近似服从泊松分布,其 参数由需求均值为每周1架确定,由此计算需求概率 存贮策略是周末库存量为零时订购3架→周末的库存 量可能是0,1,2,3,周初的库存量可能是1,2,3 用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化 动态过程中每周销售量不同,失去销售机会(需求超 过库存)的概率不同 可按稳态情况(时间充分长以后)计算失去销售机会 的概率和每周的平均销售量
问题分析 顾客的到来相互独立，需求量近似服从泊松分布，其 参数由需求均值为每周1架确定，由此计算需求概率. 存贮策略是周末库存量为零时订购3架 →周末的库存 量可能是0, 1, 2, 3，周初的库存量可能是1, 2, 3. 用马氏链描述不同需求导致的周初库存状态的变化. 动态过程中每周销售量不同，失去销售机会（需求超 过库存）的概率不同. 可按稳态情况（时间充分长以后）计算失去销售机会 的概率和每周的平均销售量
数学模型 模型假设 钢琴每周需求量服从泊松分布,平均每周1架. 存贮策略:当周末库存量为零时,订购3架,周初 到货;否则,不订购 以每周初的库存量作为状态变量,状态转移具有 无后效性. 在稳态情况下计算失去销售机会的概率和每周的 平均销售量,作为该存贮策略的评价指标
模型假设 钢琴每周需求量服从泊松分布，平均每周1架. 存贮策略：当周末库存量为零时，订购3架，周初 到货；否则，不订购. 以每周初的库存量作为状态变量，状态转移具有 无后效性. 在稳态情况下计算失去销售机会的概率和每周的 平均销售量, 作为该存贮策略的评价指标
数学模型 模型建立D第n周需求量,均值为的泊松分布 P(Dn=k)=e/!(k=0,2, D 2 >3 P0.3680.368018400610019 Sn~第m周初库存量(状态变量)Sn∈123}状态转移阵 状态转 12P13 n 2 n 移规律 D.≥S P=p 21 PPp0 23 n Pn1=P(Sn1=lSn=1)=P(D2=0)=0368 P2=P(Sm1=2S=1)=0 0.368 0.632 P3=P(Sm2=3S=1)=P(D221)=0632 0.3680.3680.264 01840368048」 P3=P(Sm1=3S=3)=P(D2=0)+P(D,≥3)=0448
模型建立 Dn~第n周需求量，均值为1的泊松分布 ( ) / ! ( 0,1,2, ) 1 = = = − P D k e k k n Sn~第n周初库存量(状态变量 ) 状态转 移规律 − + = n n n n n n n D S S D D S S 3, , 1 ( 1 1) ( 0) 0.368 p11 = P Sn+1 = Sn = = P Dn = = ( 2 1) 0 p12 = P Sn+1 = Sn = = ( 3 1) ( 1) 0.632 p13 = P Sn+1 = Sn = = P Dn = {1,2,3} n S Dn 0 1 2 3 >3 P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019 = 0.184 0.368 0.448 0.368 0.368 0.264 0.368 0 0.632 = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 p p p p p p p p p P 状态转移阵 ( 3 3) ( 0) ( 3) 0.448 p33 = P Sn+1 = Sn = = P Dn = + P Dn = … …
数学模型 模型建立状态概率a(n)=P(Sn=1),i=1,2,3 马氏链的基本方程(n+1)=a(m)P 0.36800.632 已知初始状态,可预测第 P=03680.3680.264 n周初库存量Sn的概率 0.1840.3680.448 正则链分3N,PN>0P2>0日正则链 稳态概率分布v满足wP=w v=(w1,W2,W3)=(0.2850.2630452) n→>∞,状态概率a(m)=(028502630.452)
模型建立 a(n +1) = a(n)P 状态概率 ai (n) = P(Sn = i), i = 1,2,3 ( , , ) (0.285,0.263,0.452) w = w1 w2 w3 = 马氏链的基本方程 = 0.184 0.368 0.448 0.368 0.368 0.264 0.368 0 0.632 P 正则链 稳态概率分布 w 满足 wP=w 已知初始状态，可预测第 n周初库存量Sn=i 的概率 , 0 N 正则链 N P 0 2 P n→, 状态概率 a(n) = (0.285,0.263,0.452)