(数学模型 健康与疾病 例2.健康和疾病状态同上,X,=1~健康,X=2~疾病 死亡为第3种状态,记Xn=308 0.18 0.25 p1=0.8,p12=0.18,p13=0.02 0.65 p21=0.65,p2=0.25,D23=0.1 0.02 3 0.1 P31=U,P32=0,P33 a1(n+1)=a1(m)p1+a2(m)P21+a3(m)p31 a2(n+1)=a1(n)P12+a2(mn)2+a3(m)p32 a3(n+1)=a1(n)13+a2(mn)23+a3(n)P3
1 2 3 0.02 0.1 1 0.8 0.18 0.25 0.65 例2. 健康和疾病状态同上，Xn=1~ 健康, Xn=2~ 疾病 3 1 1 3 2 2 3 3 3 3 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) a n a n p a n p a n p a n a n p a n p a n p a n a n p a n p a n p + = + + + = + + + = + + p11=0.8, p12=0.18, p13=0.02 死亡为第3种状态，记Xn=3 健康与疾病 p21=0.65, p22=0.25, p23=0.1 p31=0, p32=0, p33=1
数学模型) 状态与状态转移 设投保时处于健康状态,预测a(n),n=1,2, 01 3 50 ()10.80.7570.7285 0.1293 a2(n)00.180.1890.1835 0.0326 001 (n)00.020.0540.0880..0.8381 不论初始状态如何,最终都要转到状态3; 一旦a1(k)=a41k)=0,a3(k)=1,则对于n>k,a1(n)=0, a2(m=0,an)=1,即从状态3不会转移到其他状态
n 0 1 2 3 a2 (n) 0 0.18 0.189 0.1835 a3 (n) 0 0.02 0.054 0.0880 a1 (n) 1 0.8 0.757 0.7285 设投保时处于健康状态，预测 a(n), n=1,2,… • 不论初始状态如何，最终都要转到状态3 ； • 一旦a1 (k)= a2 (k)=0, a3 (k)=1, 则对于n>k, a1 (n)=0， a2 (n)=0, a3 (n)=1, 即从状态3不会转移到其他状态. 状态与状态转移 0 0 1 50 0.1293 0.0326 0.8381
数学模型 马氏链的基本方程状态Xn=1,2,…,k(n=0,1,…) 状态概率a1(m)=P(Xn=l ∑a、(m) l,2 转移概率P=P(Xn=Xn=1),p20,∑p=1,i=12,…,k 基本方程a1(m+1)=∑a1(m)pn,i=1,2,…,k a(n)=(a(m)a()…a()a(n+1)=a(m)P 状态概率向量 P={P}k~转移概率矩阵a(n)=a(OP (非负,行和为1)
, , , , , ( ) ( ), =1 2 = 0 1 = = i k n a n P X i 状态概率 i n ( ), 1 p P X j X i 转移概率 ij = n+ = n = X =1,2, , k (n = 0,1, ) 马氏链的基本方程 状态 n ( ) 1 1 = = a n k i i p p i k k j i j i j 0, 1, 1,2, , 1 = = = （非负，行和为 ） 转移概率矩阵 1 P ={pi j}kk ~ a(n +1) = a(n)P a n a n p i k k j i j j i ( 1) ( ) , 1,2, , 1 + = = = 基本方程 ~ 状态概率向量 ( ) ( ( ), ( ), , ( )) 1 2 a n a n a n a n = k n a(n) = a(0)P
数学模型 马氏链的两个重要类型(n+1)=a(m)P 1.正则链~从任一状态出发经有限次转移 能以正概率到达另外任一状态(如例1) 正则链◇>彐N,PN>0 正则链→3,a(m)→>(n→>∞)w~稳态概率 满足wP=v 0.8w1+0.72=1 0.80.2 例1.P 0.2w1=0.7w 0.70.3 0.2w,+0.3 满足∑m=11+12=1w=(7/929
w满足 wP = w 马氏链的两个重要类型 1. 正则链 ~ 从任一状态出发经有限次转移 能以正概率到达另外任一状态 (如例1) . , 0 N 正则链 N P a(n +1) = a(n)P 正则链w, a(n) →w(n →) = 0.7 0.3 0.8 0.2 例1. P w = (7 / 9,2 / 9) 1 2 2 1 2 1 0.2 0.3 0.8 0.7 w w w w w w + = + = 1 1 = = k i w满足 wi 1 w1 +w2 = 1 2 0.2w = 0.7w w ~ 稳态概率
数学模型 马氏链的两个重要类型 2.吸收链~存在吸收状态(一旦到达就不会离开 的状态;P=1),且从任一非吸收状态出发经有 限次转移能以正概率到达吸收状态(如例2) 有r个吸收状态的吸收链 P l0R有非 的转移概率阵标准形式 RQ」零元素 M=(-Q)=∑Q =(y,y2…y)=Me e=(1,1,…,1) y~从第讠个非吸收状态出发,被某个吸收状态 吸收前的平均转移次数
= R Q I P r r 0 马氏链的两个重要类型 2. 吸收链 ~ 存在吸收状态（一旦到达就不会离开 的状态i, pii=1）,且从任一非吸收状态出发经有 限次转移能以正概率到达吸收状态 (如例2). 有r个吸收状态的吸收链 的转移概率阵标准形式 R有非 零元素 = − = − = 0 1 ( ) s s M I Q Q T e = (1,1, ,1) y y y y Me = ( 1 , 2 , k−r ) = yi ~ 从第 i 个非吸收状态出发，被某个吸收状态 吸收前的平均转移次数