P(max(X,Y)=i 0 1 =PiX=i,Y<i 0 1/22 1/22 +P{X≤i,Y=i} 1 1/22 1/22 1 →P{max(X,Y)=0=P0,0}= 22y P{max(X,Y)=1=P{1,0}+P{0,1}+P{1,1} =1+113 22 )2X 2222 故Z=max(X,Y) 0 的分布律为
P{max(X,Y ) = i} = P{X = i,Y i} + P{X i,Y = i} P{max(X,Y ) = 0}= P{0,0} , 2 1 2 = P{max(X,Y ) = 1}= P{1,0}+ P{0,1}+ P{1,1} 2 2 2 2 1 2 1 2 1 = + + . 2 3 2 = 的分布律为 故Z = max( X,Y ) Z P 0 1 4 3 4 1 X Y 0 1 1 0 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
三、连续型随机变量函数的分 花Z=XY的分布 设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则Z=X+Y 的分布函数为 Fz()=P{Z≤z=J∬fx,y)dxdy x+Jy≤ x+y= f.)xdy x=m-yg[fu-.d叫d =∫[fu-y)dyan
的分布函数为 设(X,Y )的概率密度为f (x, y),则Z = X + Y F (z) P{Z z} Z = f x y x y x y z ( , )d d + = x y O x + y = z x = u − y 三、连续型随机变量函数的分 布1. Z=X+Y 的分布 f x y x y z y ( , )d d + − − − = f u y y u y z ( , )d d + − − − f (u y, y)d y du. z − + − = −
由此可得概率密度函数为 f(z)=[f(z-y,y)dy. 由于X与y对称，fz(z)=」f(,z-x)dx. 当X,Y独立时，fz(z)也可表示为 f(a)=["fx(z-y)fy(y)dy, 或fz(z)=∫fx(x)f(z-x)dx
由此可得概率密度函数为 ( ) ( , )d . + − f z = f z − y y y Z f (z) f (x,z x)d x. Z + − 由于 X 与 Y 对称, = − 当 X, Y 独立时, fZ (z)也可表示为 ( ) ( ) ( )d , + − f z = f z − y f y y Z X Y f (z) f (x) f (z x)d x . Z X Y + − 或 = −
例4设两个独立的随机变量X与Y都服从标准正 态分布，求Z=X+Y的概率密度. 解↓ =e2,-0<x<+0, 2 1-2 万，0= e2,-0<y<+0, 由公式fz(z)=」fx(x)fr(z-x)dx
由公式 f (z) f (x) f (z x)d x, Z X Y + − = − 解 e , , 2π 1 ( ) 2 2 = − + − f x x x 由于 X e , , 2π 1 ( ) 2 2 = − + − f y y y Y 例4 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正 态分布,求 Z=X+Y 的概率密度