余弦级数复数形式Dirichlet收敛定理正弦级数同理，当f（α）是【一元，元】上的奇函数时，f（c）以2元为周期延拓到（一80，十）之后使之成为奇函数，此时an=f()cosnadc=0(n=0,1,2,...)元因此f（a）的Fourier级数为8tbn sinna,n=1其中2bn=f(a) sinna dc.元Jo这种形式的三角级数称为正弦级数返回全屏关闭退出6/18
Dirichlet Âñ½n {u?ê u?ê Eê/ª Ón, f(x) ´ [−π, π] þÛ¼ê, f(x) ± 2π ±Ïòÿ (−∞, +∞) ¦¤Û¼ê, d, an = 1 π Z π −π f(x) cos nx dx = 0 (n = 0, 1, 2, · · ·). Ïd f(x) Fourier ?ê X ∞ n=1 bn sin nx, Ù¥ bn = 2 π Z π 0 f(x) sin nx dx. ù«/ªn?ê¡u?ê. 6/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
余弦级数正弦级数复数形式Dirichlet收敛定理例2设在【一元，元]上，f（α）=α，它可延拓成为整个直线上以2元为周期的周期函数.而且是连续的因此根据Fourier系数的计算公式得bn=0，CT元21f(α)da =da=元，ao元元Jo个112f(c)cos nadaacosnrdr一an元元1072[(-1)n - 1]n2元4当n=2k-1.(2k-1)2元当n=2k;0,所以它的展开式只含余弦函数项，且展开式是一致收敛的.因此4元α|=(2k - 1)2 cos(2k - 1)a, (（-8<C<+82元返回全屏关闭退出?7/18
Dirichlet Âñ½n {u?ê u?ê Eê/ª ~ 2 3 [−π, π]þ, f(x) = |x|, §òÿ¤þ± 2π ± Ï±Ï¼ê, ´ëY. Ïdâ Fourier XêOúª bn = 0, a0 = 1 π Z π −π f(x)dx = 2 π Z π 0 xdx = π, an = 1 π Z π −π f(x) cos nxdx = 2 π Z π 0 x cos nxdx = 2 n2π [(−1)n − 1] = − 4 (2k−1)2π , n = 2k − 1. 0, n = 2k; ¤±§Ðmª¹{u¼ê, Ðmª´Âñ. Ïd |x| = π 2 − 4 π X ∞ k=1 1 (2k − 1)2 cos(2k − 1)x, (−∞ < x < +∞). 7/18 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ