§2集合的运算 《定理》设A,B,C,D是E的子集,则有: 1A-BCA (2)若AcB和CcD,则 AnCCBOD, (3)若AcB和CcD,则A∪CB∪D, (4)若AcA∪B,则 BCAUB (5)若A∩BcA,则A∩BcB (6)若AcB,则AUB=B (7)若AcB,则AnB=A (8)A-O=A (9)A∩(B-A)= (10)A∪(BA)=A∪B
§2 集合的运算 《定理》设A，B，C，D是E的子集，则有： (1 )A-BA， (2 )若AB和CD，则A∩CB∩D， (3 )若AB和CD，则A∪C B∪D， (4 ) 若AA∪B，则 BA∪B (5 ) 若A∩BA，则A∩BB (6 ) 若AB，则A∪B=B (7 ) 若AB，则A∩B=A (8 )A-=A (9 )A∩(B-A)= (10)A∪(B-A)=A∪B
§2集合的运算 (11A-(BUC)E(A-B)n(A-C) (12)A-(BnC=(A-B)U(A-C) 4、绝对补集(补运算) 《定义》设E是全集,任一集合A对E的相对补集称为A 的绝对补集(或称补集)记作~A(或A)。即: A=EA={X∈E∧XA}=区XA
§2 集合的运算 (11)A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C） (12)A-（B∩C）=（A-B）∪（A-C） 4、绝对补集（补运算 ） 《定义》设E是全集，任一集合A对E的相对补集称为A 的绝对补集（或称补集）记作~A（或A）。即： ~A=E-A={x| xE∧xA}={x| xA}
§2集合的运算 例:设E=a,b,c,d}A={a,b}则~A={,d 《定理)A是E的任一子集,则有 (1)A∪~A=E (2)A∩~A=x 《定理)设A、B是E的二个子集,当且仅当AUB=E 和A∩B=才有 B=~A(或A=~B)
§2 集合的运算 例：设E={a，b，c，d} A={a，b} 则A={c，d} 《定理）A是E的任一子集，则有 (1)A∪A=E (2)A∩A= 《定理）设A、B是E的二个子集，当且仅当A∪B=E 和A∩B=才有 B= ~A（或A= ~ B）
§2集合的运算 证明:(i)充分性: B=~A→(AUB=E)∧(A∩B=) ∴B=~A ∴A∪B=A∪~A=E A∩B=A∩~A=成立 (i)必要性 A∪B=E)A(A∩B=∞)→B=~A B=EnB=(A∪~A)nB=(AnB)∪(~A∩B) =∪(~A∩B) =(~A∩A)∪(~A∩B)=~A∩(A∪B) =~A∩E=~A
§2 集合的运算 证明： (ⅰ) 充分性： B= ~A （A∪B=E）∧（A∩B=） ∵B=~A ∴A∪B=A∪~A=E A∩B=A∩~A=成立 (ⅱ)必要性： (A∪B=E)∧(A∩B=)B=A ∵B=E∩B=(A∪~A)∩B=(A∩B)∪(~A∩B) =∪（~A∩B） =（~A∩A）∪（~A∩B）=~A∩（A∪B） =~A∩E=~A
§2集合的运算 补集的性质: (1)~(~A)=A (2)~(A∪B)=~A∩~B (3)~(A∩B)=~A∪~B (4)~=E (5)A-B=A∩~B 例:设A={2,5,6},B={2,3,4},C={1,3,4}, E={1,2,3,4,5,6} 则AB={5,6}A∩~B={2,5,6}∩{1,5,6}={5,6}
§2 集合的运算 补集的性质： （1）~（~A）=A （2）~（A∪B）=~A∩~B （3）~（A∩B）=~A∪~B （4）~=E （5）A-B=A∩~B 例：设A={2，5，6}，B={2，3，4}，C={1，3，4}， E={1，2，3，4，5，6} 则A-B={5，6}=A∩~B={2，5，6}∩{1，5，6}={5，6}