湖南大学：《线性代数与解析几何》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 线性变换

端六换 第一节嗟变换的概念 第二节能些变换和想库 第三节特死值与特弧向 第四节线咝变换的不变子间家与核 BACK

第一节 线性变换的概念 第二节 线性变换和矩阵 第三节 特征值与特征向量 第四节 线性变换的不变子空间,象与核

、变换的概禽 O幾变换的他质 线性变换的 BACK

一、线性变换的概念 二、线性变换的性质 *三、线性变换的运算

51线性变换的概念 线性变换的概念 定义1 设a是向量空间V到其自身的一个映射,如果σ满足: 1)o(a+B)=σ(a)+o(B) 2)σ(ka)=k(a) 其中a,B为V中任意向量,k为任意实数 则称σ是V的一个线性变换.(a)称为a在a下的象,也可记为aa σ有上面的性质也说成σ保持向量的线性运算 注:(1)向量空间中变换的写法 σ:(x,y)→(x+y,x-y),(x,y)∈R2 σ(x,y)=(x+y,x-y),(x,y)∈R2 (a+=σ(a)+o(B), a(ka)=kσ(a) 可简写成O(ka+k2B)=ko(a)+k2O(B) ‖第六章线变换

定义1 一、线性变换的概念 设  是向量空间 V 到 其自身的一个映射，如果  满足: 1) (  +  ) =  (  ) +  (  ), 2)  ( k ) = k (  ). 其中 ,  为V 中任意向量，k 为任意实数  有上面的性质也说成  保持向量的线性运算. 则称  是 V 的一个线性变换.  () 称为  在  下的象，也可记为  . §1 线性变换的概念 (1) 向量空间中变换的写法  : ( x, y) → ( x + y, x − y ), (x, y)  R2  ( x, y) = (x + y, x − y), ( x, y)  R2 注： (2) ( ) ( ) ( ). 可简写成  k1α+ k2β = k1 α + k2  β  ( + ) =  () +  ( ),  (k) = k  (  ). 第六章 线性变换

例 R3中σ(x,y,z)=(x,y,0)是线性变换 E事实上,设a=(x,y,21),B=(xn,2) (a+B)=a(x1+x2,y+y2,x1+z2) (x1+x2,y1+y2,0) (x1,y1,O)+(x2,y2,0) (x,y, 3) o(a)+o(). (ka)=o(kx1,kyi, k=1) (x,y,0) (kx1,kyl, 0) k( o(a 故σ(x,y,z)=(x,y,0)是R3中线性变换,称之为R3中向xOy面的投影变换 ‖第六章线变换

例 1 R3 中  ( x, y, z) = (x, y, 0) 是线性变换. 事实上, 设  = ( x1 , y1 , z1 ) ,  =( x2 , y2 , z2 )  ( +  ) =  ( x1+ x2 , y1 + y2 , z1+ z2 ) = ( x1+ x2 , y1 + y2 , 0 ) = ( x1 , y1 , 0) + ( x2 , y2 , 0) =  ( ) +  (  ). 证  (k ) =  (k x1 , k y1 , kz1 ) = ( k x1 , k y1 , 0 ) = k (x1 , y1 , 0 ) = k  (  ). 故  ( x, y, z) = (x, y, 0) 是 R3 中线性变换，称之为 R3 中向 xOy 面的投影变换. x y z ( x, y, z) (x, y, 0) 0 第六章 线性变换 上一页

例2 在R2中,设0≤<2丌,令 σ:(x,y)→>( x cose-ysin6, sine+yos) 则a是R2的一个线性变换 称线性变换σ是绕原点按逆时针方向旋转θ角的旋转变换 (x,y) E事实上,由 ((x,y)+(x1,y1)=a(x+x1,y+y1) =[(x+1)Coe-(2+小)9(x+x1)2+(小+)coeQ (co2 0 x. 6+)Co28)+(xI c020-N 20 x 20+) co2o) =Q(x:)+Q(x2) Q(Y(x))=Q(Yxy)小) (yCo20-2 0 21 0+Yco20) ￥(xco2-2mx29+CoO29) =a(x) 故σ是线性变换 ‖第六章线变换

例 2 在 R2 中，设 0 ≤  < 2 , 令  ：(x, y)→ (x cos − ysin, xsin + ycos ) 则  是 R2 的一个线性变换. 称线性变换  是绕原点按逆时针方向旋转  角的旋转变换. x y ( x, y) 0 事实上，由   ( (x, y)+(x1 , y1 ))= (x+x1 , y+y1 ) [( )cos ( )sin ,( )sin ( )cos )] = x + x1  − y + y1  x + x1  + y + y1  = (x cos − y sin , x sin  + y cos ) ( , ) ( , ). 1 1 = x y + x y ( cos sin , sin cos ) + x1  − y1  x1  + y1  证  (k(x, y)) =  (kx, ky) = (k xcos − k ysin , k xsin  + k ycos ) = k(x cos − y sin , x sin  + y cos ) = k (x, y). 故  是线性变换. 第六章 线性变换 上一页