第五服空间 ⊙第一节內积,欧氏窆间R 第二节标准正交基 郭三节向量积与提合积 第四中R3中直角坐标系下直线与平面少程 第节窆间曲面,空间曲缆及其亦 BACK
第一节 内积 , 欧氏空间Rn 第二节 标准正交基 第三节 向量积与混合积 第四节 R 3 中直角坐标系下直线与平面方程 第五节 空间曲面, 空间曲线及其方程
、何皇角量的积 维府量的积 咳兵角 BACK
一 、几何空间中向量的内积 二、n 维向量的积 三、欧氏空间 R n
§1.内积、欧氏空间Rn 、几何空间中向量的内积 1.空间向量及两向量的夹角(回顾) 实际问题中,既有大小又有方向的物理量称为向量 ①几何上用有向线段表示一个向量,线段的长度表示向量的大小 ②空间向量为自由向量在直角坐标系下,将向量的起点移至原点,称之为向径 点向Mx,y,z) OM=(x, y, 3) ③向量a=(x,y,z)的长度 ④向量的方向角 p= arccos φ= arccos arccos ⑤将空间两向量a,B的起点移至一点o,两有向线段的夹角(0≤0≤丌),称 为向量a与B的夹角,记为a,b) 当=时,称a与B垂直(正交),记作a⊥B 当0=0成x时,称a与B平行(共线,记作aB[第五章欧氏空
1. 空间向量及两向量的夹角 (回顾) 实际问题中, 既有大小又有方向的物理量称为 第五章 欧氏空间 §1. 内积、欧氏空间Rn ①几何上用有向线段表示一个向量, 线段的长度表示向量的大小. ② 空间向量为 在直角坐标系下, 将向量的起点移至原点, 称之为 . 点向 M(x, y, z) OM = (x, y, z) ③向量 = (x, y, z) 的 2 2 2 | | x y z ④向量的 , | | arccos x ρ , | | arccos y φ . | | arccos z ⑤将空间两向量 , 的起点移至一点o, 两有向线段的夹角 (0≤≤ )，称 为向量 与 的 , 当 2 时，称 与 记作 . 当 = 0 或 时，称 与 记作 // . o 记为 (a, b)
2.空间向量的内积 例如,常力∫作用于物体,使之产生位移s, 这个力所作的功为 ∫|ls|cos(∫,s) 定义1 设aBER,记a与B的夹角为(a,B),称数a‖|koa,B)为向量a与B的 内积(数量积),记为aB,即 a·B=a‖Bcos(a,B) 「第五章欧氏空间
第五章 欧氏空间 例如, 常力 f 作用于物体, 使之产生位移 s, s f cos( , ) W f s f s 2. 空间向量的内积. 这个力所作的功为 定义1 设, R3 , 记 与 的夹角为( , ) , 称数 cos( , ) 为向量 与 的 记为 · , 即 cos( , ) (1) 上一页
3.内积的坐标表示 在直角坐标系下,设空间向量a=(x1,y,z1,B=(x2,y2,2),由于a,B及|a-B 构成三角形的三条边 a-B 则由余弦定理知: a-B=a+B 2-2a|l Bcos(a,B) Ep a B cos(a,B)=3(a+B2-a-BP) 1[2+x2+2+x2+y2+2-(x-x)-01-y)-(a= xx2+V,y 所以a·B=x1x2+ny2+=12 (2) 「第五章欧氏空间
第五章 欧氏空间 在直角坐标系下, 设空间向量 = (x1 , y1 , z1), = (x2 , y2 , z2), 由于 , 及 构成三角形的三条边, 2 2 cos( , ) 2 2 则由余弦定理知: 即 cos( , ) ( ) 2 1 2 2 2 [ ( ) ( ) ( ) ] 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 x y z x y z x x y y z z 1 2 1 2 1 2 x x y y z z 所以 1 2 1 2 1 2 x x y y z z (2) 3. 内积的坐标表示. 上一页