6曲面及其方程 常用二次曲面的方程及其图形 、球面设P(x0y0,z乙0)是球心,R是半径,P(xy,z)是球面上 任一点,则PF=R,即 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)=R2 X+y2+z2=R2 2、椭球面 3、旋转曲面 设L是xOz平面上一条曲线 ∫f(xz)=0 y=0,L绕z旋转一周所得旋 转曲面:√x+y2,)= +(z-z0) z0=z代入方程f(xz)=0 得x+y3,=0 例1、z=x2+y2,z=ax2+y2)称为旋转抛物面 旋转双曲面 1,(单) Z= 4、椭圆抛物面z=ax2+by2ab>0 5、单叶双曲面+ a b c 6、双叶双曲面 7、二次锥面 圆锥面
(0,0,z0 ) (x (x,y,z) 0 ,y0 ,0) z 0 y x 6 0 曲面及其方程 常用二次曲面的方程及其图形 1、球面 设 ( ) 0 0 0 0 P x , y , z 是球心，R 是半径， P(x, y, z) 是球面上 任一点，则 P0P = R ，即 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 x − x0 + y − y + z − z = R 2 2 2 2 x + y + z = R 2、椭球面 1 c z b y a x 2 2 2 2 2 2 + + = 3、旋转曲面 设 L 是 x0z 平面上一条曲线 ( ) = = y 0 f x, z 0，L 绕 z 旋转一周所得旋 转曲面：f( x y , z) 0 2 2 + = ( ) 0 2 2 2 0 2 2 0 x = x + y + z − z = x + y , z = z x x y z 0 z f(x, z) 0 2 2 0 = + = 代入方程 = 得 f( x y , z) 0 2 2 + = 例 1、 ( ) 2 2 2 2 z = x + y , z = a x + y 称为旋转抛物面 旋转双曲面： 1 c z a x y 2 2 2 2 2 − = + ，(单) 2 2 2 2 2 c z a x y z + + = − 4、椭圆抛物面 z ax by ab 0 2 2 = + 5、单叶双曲面 1 c z b y a x 2 2 2 2 2 2 + − = 6、双叶双曲面 1 c z b y a x 2 2 2 2 2 2 − − + = 7、二次锥面 0 c z b y a x 2 2 2 2 2 2 + − = 圆锥面 2 2 2 2 2 2 z = x + y z = ax + by
8、柱面抛物柱面y=ax2(a>0) 椭圆柱面x+ 圆柱面 R 60空间曲线及曲线在三个坐标面上投影方程(以后讲) x=x(t) 般式 F1(xy,z)=0 F,(x,y, z) 参数式y=y() z=() 曲线F(k2)=0 F2(xy,z)=0 在三坐标面上投影方程 在x0y面上投影曲线方程:在 ∫F(xy,z)=0 中消去z,再与z= E2(xy, z) 联立
8、柱面 抛物柱面 y ax (a 0) 2 = 椭圆柱面 1 b y a x 2 2 2 2 + = 圆柱面 2 2 2 x + y = R 6 0 空间曲线及曲线在三个坐标面上投影方程（以后讲） 一般式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = z z t y y t x x t F x, y, z 0 F x, y, z 0 2 1 参数式 曲线 ( ) ( ) = = F x, y, z 0 F x, y, z 0 2 1 在三坐标面上投影方程 在 x0y 面上投影曲线方程：在 ( ) ( ) = = F x, y, z 0 F x, y, z 0 2 1 中消去 z，再与 z=0 联立
多元函数微分学 10二元函数及其极限与连续 、z=f(xy),定义域为平面上某一个平面域 几何上z=f(xy)为空间一张曲面。 2、二元函数极限P186 例1、讨论函数 4x2 +y2≠0 在(0,0)极限是否存 在 解:li lim4x.K4x =lim-4K2x2 x2)x+0(kx+x 2K 而lm=4:f(ky)在(0.0极限不存在 3、连续P187 2多元函数的偏导数与全微分 1、偏导数 定义:z=f(xy)在点(x0,y)处对x的偏导数, z0 4/21 x=xo, f. y y=yo y=yo 即:f(xa,y0) f(x。+Axya)-f(x,y0) 同理:f(n,)=nftn+y)-fn,) y ff在(xa,y)存在,称z=f(xy)在(x,y)可导。 例1、z=xy,求 解
多元函数微分学 1 0 二元函数及其极限与连续 1、 z = f(x, y) ，定义域为平面上某一个平面域 几何上 z = f(x, y) 为空间一张曲面。 2、二元函数极限 P186 例 1、讨论函数 ( ) ( ) (0,0) x y 0 x y 0 0 y x 4x y f x, y 2 2 2 2 2 4 2 2 4 在 + = + + = 极限是否存 在。 解： ( ) ( ) ( ) 0 x K 1 4K x lim K x x 4x K x lim y x 4x y lim 2 2 4 2 2 0 2 4 4 2 2 4 4 0 2 4 2 2 4 x y 0 2 = + = + = + → → = x→ x x 而 ( ) 4 y y 4y y lim 2 4 4 4 4 2 x y x 0 = + = → ∴ f(x y) 在(0,0)极限不存在. 3、连续 P187 2 0 多元函数的偏导数与全微分 1、偏导数 定义： ( ) ( ) 0 y0 z = f x, y 在点 x , 处对 x 的偏导数， 记作： ( ) 1 0 0 y y0 x x x0 y y0 x x0 y y0 x x0 , z , f x , y x f , x z = = = = = = 即： ( ) ( ) ( ) x f x x, y f x , y f x , y lim 0 0 0 0 x 0 x 0 0 + − = → 同理： ( ) ( ) ( ) y f x , y y f x , y f x , y lim 0 0 0 0 y 0 y 0 0 + − = → ( ) x y 0 y0 f ,f 在 x , 存在，称 ( ) ( ) 0 y0 z = f x, y 在 x , 可导。 例 1、 y z , x z z x , y = 求 解： x lnx y z yx , x z y 1 y = = −
例2、P188,例5,6 设z=-Ml+x2smy)+x3,求z(21) 解:2×1)=x2,z(21M 12 2、高阶偏导数 =f(xy)=z*=f. a'z a( az a aZ axay ay(ax aox oldy 2总() f”,fx,连续,则f=f 3、全微分 如Az=f(x+Axy+△y)-fxy)=AAx+BAy+op) p=(x)+(△y)2 z=f(xy)在(xy)可微 全微分dz= f, af 偏导数f x’连续一可微了可导 连续 例3、设u(xy)=d+y-1则d=lmy+2kx+(+hm 例4、由方程xz+√x2+y2+z2=√2 确定z=z(xy)在点(10-1)全微分dz=dx-√2dy
例 2、P188，例 5，6 设 z (y 1) 1 x sin (x, y) x , z (2,1) x 2 3 = − + + 求 解： ( ) ( ) ( ) 3x 12 dx dz x,1 z x,1 x , z 2,1 x 2 2 x x 2 3 = = = = = = 2、高阶偏导数 ( ) 2 2 xx xx x 2 f x, y z f x z x x z = = = = xy xy 2 f z x z x y y z = = = yx yx 2 f z y z y x x z = = = = y z y y z 2 2 f , f , xy yx 连续，则 xy yx f = f 3、全微分 如 z = f(x + x, y + y)−f(x, y) = Ax +By + o(ρ ) ( ) ( ) 2 2 ρ = x + y z = f(x, y) 在 (x, y) 可微 全微分 dy y f dx x f dz + = 偏导数 y f , x f 连续→可微 例 3、设 u(x, y) = xlny + ylnx −1 则 lnx dy y x dx x y du lny + + = + 例 4、由方程 xyz x y z 2 2 2 2 + + + = 确定 z = z(x, y) 在点 (1,0,−1) 全微分 dz = dx − 2dy ↗可导 ↘连续
30复合函数微分法 定理:P194 z=f(u v)u=u(xy)v=v(xy)z=f(u, v)=F(xy) x 例5、P195,例5.14 设z=(1+x2+y2y 求 解:z=em+x+y2) 1+X-+y a=(1+x2+y)×1+x2 2 X-+ 例515解z=f(2+y2x),y=x+(x) z=(x2+2x0()+(x),x2+x(x)=f(u,y)=F( x+2x)+2xg(+20(x0o(x)+2px+(x)+x(x 22x+((x)+xp (x)+p(x)p 0)10(2x+o(x)+xo(x) 例 7、z=y2+ r(x2-y2),其中f(u)可微,则 y:+:=2xyf'(u)-2yf'(u)+2y 例8、z=Xp(),(u)可微,则2+yx=2z
3 0 复合函数微分法 定理：P194 z = f (u . v) u = u ( x . y.) v = v ( x . y ) z = f ( u , v ) = F ( x . y ) x v v f x u u f x z + = , x v v f y u u f y z + = 例 5、P195，例 5.14 设 z = ( 1 + x2 + y2 ) xy 求 y z x z 解： ) 2 y 2 xyln(1 x z e + + = + + = + + + + + 2 2 2 2 2 xy 2 2 1 x y 2x y (1 x y ) yln(1 x y ) x z + + = + + + + + 2 2 2 2 2 xy 2 2 1 x y 2xy (1 x y ) xln(1 x y ) y z 例 5.15 解 z f(x y , xy) 2 2 = + ， y = x + (x) z f(2x 2x (x) (x) , x x (x)) f(u , v) F(x) 2 2 2 = + + + = = 2x (x) x (x) v f 4x 2 (x) 2x (x) 2 (x) (x) u f x z + + + + + + = 2x (x) x (x) v f 2x (x) x (x) (x) (x) u f 2 + + + + + + = 例 7、 ( ) 2 2 2 z = y + f x − y ，其中 f(u) 可微，则 2xyf (u) 2yf (u) 2y y z x z y = − + + 例 8、 ) y x z x ( 2 = ,(u) 可微，则 2z y z y x z 2 = +