§1集合的概念和表示法 例:{ab,c}={b,ca} 例:设P={12,4,Q={1,2,4},则P类Q 《定义》设A、B是任意二个集合,如果集合A的每一个 元素都是B的一个元素,则称A是B的子集,或者说A 包含于B,或者说B包含A,记作AcB,或者B→A。 并规定:A<B<B2A∨X(X∈A→X∈B)
§1集合的概念和表示法 例：{a,b,c}={b,c,a} 例：设P={{1,2},4}，Q={1,2,4}，则PQ 《定义》设A、B是任意二个集合，如果集合A的每一个 元素都是B的一个元素，则称A 是B的子集，或者说A 包含于B，或者说B包含A，记作AB，或者BA。 并规定：ABBAx(x A → x B)
§1集合的概念和表示法 例:A1={123}A2={0}A3={1,2,30}B={1,2,3,0} 则A1、A2、A3均为B的子集合,并记为 AlcB, A2cB, A3CB 《定义》设A、B是任意二个集合,若AcB且A#B,则称 A是B的真子集,记作AcB(A真包含于B) 并规定:AcB→(AcB∧A#B)
§1集合的概念和表示法 例：A1={1,2,3} A2={0} A3={1,2,3,0} B={1,2,3,0} 则A1、A2、A3均为B的子集合，并记为 A1B，A2B，A3B 《定义》设A、B是任意二个集合，若AB且A≠B，则称 A是B的真子集，记作AB（A真包含于B） 并规定：AB（AB ∧ A≠B）
§1集合的概念和表示法 注意:区分“∈”和“c”的关系: “∈”关系是指集合和该集合中元素之间的关系。 例:S={ab},c}则a∈S,{b}∈S,c∈S 而 关系是指二个集合之间的关系 例:S1={a,bS2={a,b,1,2}则s1cS2 若A不包含于B,则也可表示成AzB 《定理》设E是全集,A是一个集合,则一定有AcE 证明:X(X∈A→x∈E)而x∈E始终为“T 所以x∈A→X∈E一定为“T 故有∨X(x∈A→x∈E)为“T”,则有AcE
§1集合的概念和表示法 注意：区分“”和“”的关系： “ ”关系是指集合和该集合中元素之间的关系。 例：S={a,{b},c} 则a S，{b}S，c S 而“”关系是指二个集合之间的关系。 例：S1={a, b} S2={a,b,1,2} 则S1 S2 若A不包含于B，则也可表示成AB 《定理》设E是全集，A是一个集合，则一定有AE。 证明： x（x A → x E） 而x E始终为“T”， 所以x A → x E一定为“T” 故有x（x A → x E）为“T”，则有AE
§1集合的概念和表示法 《定理》设A、B是任意二个集合,当且仅当AcB和Bc A才有A=B。 证明: (i)充分性:(A=B)→( ACBABCA) (A=B)<→X(X∈A→XeB∧XeB→X∈A <→VX(X∈A→X∈B)∧x(X∈B→X∈A) →(A∈B)A(BA) (i)必要性: ACBABCA→A=B (AcB)∧(BcA→X(X∈A→X∈B)AX(X∈B→X∈A) →(A=B)
§1集合的概念和表示法 《定理》设A、B是任意二个集合，当且仅当A B和B A才有A=B。 证明： (ⅰ)充分性：（A=B）（A B ∧B A） (A=B)x (x A→ xB∧xB→ xA) x(xA→ xB)∧x(xB→ xA) (AB)∧(BA) (ⅱ)必要性：AB∧BAA=B (AB)∧(BA)x(xA→ xB)∧x(xB→ xA) (A=B)
§1集合的概念和表示法 《推论》对于任一集合A,则有AcA 《定理》设A、B、C是任意集合,如果AcB和B<C,则 《推论》若AcB和BCC,则AcC。 《定理》设有空集必和任一集合A,则cA 证明:设X∈A,要证明OA,只要证:VX(X∈⑧→x∈A) 为“T ⑦中没有元素, X∈为假,∨x(x∈→ⅹ∈A)为“T 《定理》⑦是唯一的
§1集合的概念和表示法 《推论》对于任一集合A，则有A A。 《定理》设A、B、C是任意集合，如果AB和BC，则 AC 。 《推论》若AB和BC，则AC 。 《定理》设有空集和任一集合A，则A 证明：设xA，要证明A，只要证：x(x→ xA) 为“T” ∵中没有元素， ∴x为假，x（x→ xA）为“T” 《定理》 是唯一的