上式右边为单位时间区域V内的物质因温度升高所吸收的热量 从区域表面流入的热量与区域内部产生的热量均用于区域内物质的升温 利用高斯定理,可将面积分化为体积分,因而上式可化为 V·dr+fdr=|vpdr)cr 傅里叶定律:q=-kV=V·=-V,(kVu,故有 v.vndr+|fdr= L (edr)cur此式对任意体积均成立 pcl=V(kVa)+f对均匀体系: Vou= 若体系内无热源且热导率为常数(体系均匀区),则有:x-a2v2=0热传导方程 更一股地,若介质各向异性,则傅里叶定律改写为:=XB業为3×3矩阵。热传导方程为 (1.2) 类似地,由物质浓度不均匀而产生的扩散,分子浓度x,y,z,D满足与热传导方程相似的方程 au_dv-u 其中D为扩散系数,f(x,y,z,1)为单位时间在单位体积内分子的产生率 Q例题 目例1:阳光照射到半径为a表面完全吸收的球,设阳光的热流密度矢量为q, 外界温度=0,写出球表面温度应满足的条件(边界条件)。 解:取如图所示坐标系,热流密度矢量:4=-q2 e 同时,球还与外界按牛顿冷却律交换热量,产生的热流为:Q=K(-4)2 在球表面总的热流密度矢量:在= 矿+交=-q+K(u-l)0≤6≤丌/2 丌/2≤6≤丌 球表面的热流密度矢量在必在球表面建立Vu的温度梯度 这一点类似于牛顿第二定律,受到外力了必然使物体有a的加速度:了=ma 对应的傅里叶定律表明:=-kVu,其中k为热导率 两边同点乘p并利用Vu= 其中u(r,θ,)为球内温度,aa,θ,)为球表面温 为何要点乘b:因为要得到u(r,B,d)在球面的法向导数 目例2:半径a密度ρ比热c热传导系数为k的匀质圆杆,设同一横截面的温度相同,杆侧面与温度为4的外接热 热交换系数为K,求杆温度M满足的方程
上式右边为单位时间区域 V 内的物质因温度升高所吸收的热量。 从区域表面流入的热量与区域内部产生的热量均用于区域内物质的升温。 利用高斯定理，可将面积分化为体积分，因而上式可化为 -V ∇ ·q τ +V f τ = V (ρ τ) c ut 傅里叶定律： q = -k ∇u ⟹ ∇·q = -∇·(k ∇u)，故有： V ∇ ·(k ∇u) τ + V f τ = V (ρ τ) c ut 此式对任意体积均成立 ρ c ut = ∇ ·(k ∇u) + f 对均匀体系 ： ut - k ρ c ∇2 u = f ρ c 若体系内无热源且热导率为常数（体系均匀区），则有： ut - a2 ∇2 u = 0 热传导方程 更一般地，若介质各向异性，则傅里叶定律改写为： q = - k ·∇u, k 为 33 矩阵。 热传导方程为 ρ c ∂ u ∂ t - ∇ ·k ·∇u = f (1.2) 类似地，由物质浓度不均匀而产生的扩散，分子浓度 u(x, y, z, t) 满足与热传导方程相似的方程。 ∂ u ∂ t - D ∇2 u = f (1.3) 其中 D 为扩散系数，f (x, y, z, t) 为单位时间在单位体积内分子的产生率。 例题 ☺ 例 1：阳光照射到半径为 a 表面完全吸收的球，设阳光的热流密度矢量为 q， 外界温度 u0 = 0，写出球表面温度应满足的条件 （边界条件 ）。 解：取如图所示坐标系 ，热流密度矢量 ： q = -q e z θ q z 同时，球还与外界按牛顿冷却律交换热量 ，产生的热流为 ：Q = K (u -u0) e r 在球表面 总的热流密度矢量 ：qt = q + Q = -q e z + K (u -u0) e r 0 ≤ θ ≤ π/2 Q = K (u -u0) e r π/2 ≤ θ ≤ π 球表面的热流密度矢量 qt 必在球表面建立 ∇u 的温度梯度 , 这一点类似于牛顿第二定律 ，受到外力 f 必然使物体有 a 的加速度 ： f = m a 对应的傅里叶定律表明 ：qt = -k ∇u， 其中 k 为热导率 两边同点乘 e r 并利用 e r ·∇u = ∂ u ∂ r = ur 得： -q cos θ + K u(a, θ, ϕ) = -k ur(a, θ, ϕ) 0 ≤ θ ≤ π/2 u = -k ur(a, θ, ϕ) π/2 ≤ θ ≤ π , 其中 u(r, θ, ϕ) 为球内温度 ，u(a, θ, ϕ) 为球表面温度 ，u0 = 0 ▲ 为何要点乘 e r：因为要得到 u(r, θ, ϕ) 在球面的法向导数。 ☺ 例 2：半径 a 密度 ρ 比热 c 热传导系数为 k 的匀质圆杆，设同一横截面的温度相同，杆侧面与温度为 u0 的外接热 交换。 热交换系数为 K，求杆温度 u 满足的方程 。 6 z09a.nb
z09a.nba 解:同一截面的温度相同,退化为一维问题:u(x,D)。考虑x到x+dx的一小段 左端有温度梯度:Vu=(x,)e2,必对应于-kⅴu的热流密度矢量,故左端必有热量ra2(-kVu)-x流入 右端有温度梯度:Vn=x+dx,t因此右端必有热量xa2(-kvl)(-tx)流入,注意右端流入应点乘(- 同时,侧面还与外界热交换:单位面积热流=K(-),从侧面流出的热量为:k(a-l0)2radx 从而:ra2(-kV)(-儿a+xa2(-kVn)-k(u-0)2xadx=(pra2dx)cu(x,D (a-0),其中利用了:(a)tx=lx(方向导数) 目例3:试在球对称温度分布条件下导出匀质孤立球体的热传导方程 解:本题当然可以借助三维热传导方程在球坐标系的形式导出。现直接推导 同一球层的温度相同,温度可表为:u(r,n),与极角θ和方位角d无关。考虑r到r+dr的一小薄球壳 由内表面流入球壳的热量为:丌,有=-kVB,流入的热量为:-4x2k叫=-4xkB,0 外表面流入球壳的热量:x(+)2小(-2),q=-kN流入的热量为:4x(+su= dr lr+dr 4Trkur(r+dr, t) 球壳单位时间温度升高吸收的热量:4 Tr-drpcun 从而:4x(r+dr)2k =4丌r2 drpc 简化:1 令U(r,0=ru(r,n),方程可化为:U1-a2U=0,a2 θ例4:细杄两端与外界(温度为)有热交换,求细杆两端的温度所满足的条件 解:x=0端:由牛顿冷却定律:2=K(x-1)(-2),注意在x=0的外法线方向是(-2) 据傅里叶定律:乙=-kV两边同点A,k(0.0=10.0-m1,即:a(0.0-a0.=-m0 x=l端:d=K(u-10),类似可求得:kl(,1)=-k1(,)-l01,即:at(,+-u(,= 特别注意,x=0与x=l两端相差一个负号。 93稳定问题 在一定条件下,温度达到稳定,则温度分布满足 Poisson方程 f 若体系内无热源,则退化为 Laplace方程 V2u=0 均匀介质中的静电势φ(x,y,z),也满足 Poisson方程 v2y=-,其中p为电荷密度,为介质的静电介电常数 若无电荷分布的空间,静电势也满足 Laplace方程 若波动方程
解：同一截面的温度相同 ，退化为一维问题 ：u(x, t)。考虑 x 到 x + x 的一小段 。 左端有温度梯度 ：∇u = ux(x, t) e x，必对应于 - k ∇u 的热流密度矢量 ，故左端必有热量 π a2 (-k ∇u)· e x 流入 右端有温度梯度 ：∇u = ux(x + x, t) e x，因此右端必有热量 π a2 (-k ∇u)·-e x 流入，注意右端 流入应点乘 -e x。 同时，侧面还与外界热交换 ：单位面积热流 Q = K (u - u0) e r, 从侧面流出的热量为 ：K (u - u0) 2 π a x 从而：π a2 (-k ∇u)·-e x x+x + π a2 (-k ∇u)· e x x - K(u - u0) 2 π a x = ρ π a2 x c ut(x, t) 整理：ut = k ρ c uxx - 2 K a ρ c (u - u0)， 其中利用了 ：(∇u)· e x = ux （方向导数 ） ☺ 例 3：试在球对称温度分布条件下导出匀质孤立球体的热传导方程。 解：本题当然可以借助三维热传导方程在球坐标系的形式导出 。现直接推导 。 同一球层的温度相同 ，温度可表为 ：u(r, t)，与极角 θ 和方位角 ϕ 无关。考虑 r 到 r + r 的一小薄球壳 。 由内表面流入球壳的热量为 ：π r2 q· e r, q = -k ∇u, 流入的热量为 ：-4 π r2 k ∂ u ∂ r r = -4 π r2 k ur (r, t) 外表面流入球壳的热量 ：π (r + r)2 q·-e r, q = -k ∇u, 流入的热量为 ：4 π (r + r) 2 k ∂ u ∂ r r+r = 4 π r2 k ur (r + r, t) 球壳单位时间温度升高吸收的热量 ：4 π r2 r ρ c ut 从而：4 π (r + r)2 k ∂ u ∂ r r+r -4 π r2 k ∂ u ∂ r r = 4 π r2 r ρ c ut 简化：ut = k r2 ρ c ∂ r2 ur(r, t) ∂ r , 令 U(r, t) = r u(r, t), 方程可化为 ：Ut - a2 Urr = 0，a2 = k ρ c ☺ 例 4：细杆两端与外界（温度为 u0）有热交换，求细杆两端的温度所满足的条件。 解：x = 0 端：由牛顿冷却定律 ：Q = K (u -u0) -e x，注意在 x = 0 的外法线方向是 -e x 据傅里叶定律 ：Q = -k ∇u 两边同点乘e x k ux(0, t) = K[u(0, t) - u0], 即：ux(0, t) - K k u(0, t) = - K k u0 x = l 端：Q = K (u -u0) e x, 类似可求得 ：k ux(l, t) = -K[u(l, t) - u0], 即：ux(l, t) + K k u(l, t) = K k u0 特别注意 ，x = 0 与 x = l 两端相差一个负号 。 9.3 稳定问题 在一定条件下，温度达到稳定，则温度分布满足Poisson方程 ut - k ρ c ∇2 u = f ρ c ⟹ ∇2 u = - f k 若体系内无热源，则退化为Laplace方程 ∇2 u = 0 均匀介质中的静电势 φ(x, y, z)，也满足Poisson方程 ∇2 φ = -ρ ε ， 其中 ρ 为电荷密度 ，ε 为介质的静电介电常数 。 若无电荷分布的空间，静电势也满足Laplace方程。 若波动方程 z09a.nb 7