A"a=A(A A( (Aa) (a) 其次,设 f(x)=a axt a LA+aE f(a)=and f(A)·a=anA"a+…+a1Aa+a0Ea a12+a0) 所以,f(4)是f(4的特征值. 例5设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3;A对应于特征值1、2的特征向量分别是 a1=(-1,-1,1 (1,-2,-1) (1)求A对应于特征值3的特征向量 (2)求矩阵A 解(1)设A对应于3的特征向量为 因为A是实对称矩阵,故不同特征值的特征向量a1,22,3相互正交,即有 a 0 X1 0 其基础解系为a=(L0,1),故A对应于特征值3的特征向量为a1=k(1,0.1),(k≠0) P-AP=0 2 0 (2)记 111,则应有 003 6 于是 求得
m A = A( m−1 A ) = A( m−1 ) = m−1 (A) = m−1 () = m 其次, 设 1 0 f (x) a x a x a n = n ++ + f A a A a A a E n n 1 0 ( ) = ++ + 1 0 f ( ) a a a n = n ++ + f A a A a A a Ea n n 1 0 ( ) = ++ + = n an ++ a1 ＋ 0 a ( ) a a1 a0 n = n ++ + = f () 所以, f () 是 f (A) 的特征值. 例 5 设三阶实对称矩阵 A 的特征值是 1, 2, 3；A 对应于特征值 1、2 的特征向量分别是 T ( 1, 1, 1) 1 = − − , T (1, 2, 1) 2 = − − （1）求 A 对应于特征值 3 的特征向量； （2）求矩阵 A. 解 （1）设 A 对应于 3 的特征向量为 T (x , x , x ) 3 = 1 2 3 因为 A 是实对称矩阵, 故不同特征值的特征向量 1 2 3 , , 相互正交, 即有 = − − = = − − + = 2 0 0 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 x x x x x x T T 其基础解系为 T = (1, 0, 1) , 故A对应于特征值3的特征向量为 T k(1, 0, 1) 3 = , (k 0) ； （2）记 − − − = = 1 1 1 1 2 0 1 1 1 P 1 2 3 , 则应有 = − 0 0 3 0 2 0 1 0 0 1 P AP 于是 = = 0 0 3 0 2 0 1 0 0 A P , 求得 − − − − − = − 3 0 3 1 2 1 2 2 2 6 1 1 P
将P-代入上式得 13 A 2102 5213 例6求m阶方阵 的特征值 解A的特征多项式 f()=AE-A|= 1-1 0 1 =(2-na) ="(-na) 所以,A=0(n-1重)与2=m是A的特征值 例7设a1,a2是矩阵A对应于不同特征值n2的特征向量,且412≠0,试证a1 +a2不是A的特征向量 证用反证法 设+422是A对应于特征值的特征向量,则有
将 −1 P 代入上式得 − − = 5 2 13 2 10 2 13 2 5 6 1 A 例 6 求 n 阶方阵 ( 0) = a a a a a a a a a a A 的特征值. 解 A 的特征多项式 a a a a a a a a a f E A − − − − − − − − − = − = ( ) | | a a a a a a na na na − − − − − − − − − = a a a a a a na − − − − − − = − 1 1 1 ( ) ( ) 0 0 0 0 1 1 1 ( ) 1 n a n a n = − = − − 所以, 0( 1 1 = n − 重)与 = na 2 是 A 的特征值. 例 7 设 1 2 , 是矩阵 A 对应于不同特征值 1 2 , 的特征向量, 且 0 1 2 , 试证 1 1 ＋ 2 2 不是 A 的特征向量. 证 用反证法. 设 1 1 ＋ 2 2 是 A 对应于特征值 的特征向量, 则有
A 上式左端=4(Aa1)+12(Aa2) -/1 a1415 a (5-1) 右端=1a1+M2a (5-2) 比较式(5-1),式(5-2) a1+a2=M21+2a2 (-1)a+(号 λ2)2=0 (5-3) 因为a1,a2是不同特征值的特征向量,故1,2线性无关,欲使(5-3)式成立,必有 (5-4) 由式(5-4)可得4=2=1,与≠矛盾,故有a1+2a2不是A的特征向量 例8求矩阵A的特征值与特征向量 A= 0035 000 0+1 JE-A= 002-3-5 (-1)(2+1)(4-3)2 特征值为1=2=-14=3(二重根) 将4=1代入[E-4X=0,得 2x2-x3-3x4=0 其基础解系为a1=(1,0.0.0),A对应于的全部特征向量为ka1,(k1≠0)
A( 1 1 ＋ 2 2 ) = ( 1 1 ＋ 2 2 ) 上式左端 = 1 (A 1 )＋ 2 (A 2 )= 2 1 1 ＋ 2 2 2 （5-1） 右端 = 1 1 ＋ 2 2 （5-2） 比较式（5-1）, 式（5-2） 2 1 1 ＋ 2 2 2 = 1 1 ＋ 2 2 ( 2 1 − 1 ) 1 ＋( 2 2 − 2 ) 2 = 0 （5-3） 因为 1 2 , 是不同特征值的特征向量, 故 1 2 , 线性无关, 欲使（5-3）式成立, 必有 2 1 − 1 = 2 2 − 2 = 0 （5-4） 由式（5-4）可得 1 = 2 = , 与 1 2 矛盾, 故 1 1 ＋ 2 2 不是 A 的特征向量. 例 8 求矩阵 A 的特征值与特征向量 − = 0 0 0 3 0 0 3 5 0 1 1 3 1 3 1 2 A 解 0 0 0 3 0 0 3 5 0 1 1 3 1 3 1 2 | | − − − + − − − − − − − = E A 2 = ( −1)( + 1)( − 3) 特征值为 1, 1, 3 1 = 2 = − 3 = （二重根）. 将 1 1 = 代入 [E − A]X = 0 , 得 − = − − = − − = − − − = 2 0 2 5 0 2 3 0 3 2 0 4 3 4 2 3 4 2 3 4 x x x x x x x x x 其基础解系为 T (1, 0, 0, 0) 1 = , A 对应于 1 的全部特征向量为 , ( 0) k11 k1
将42=-1代入[E-4X=0,得系数矩阵 [2E- 000 0-4-5 对[2E-作初等行变换可化为 3-2000 00 对应齐次线性方程组的基础解系为a2=(-32,0.0),特征向量为k2a2,(k2≠0) 将=3代入[E-X=0,得 2-3-1-2 000 0000 2E-作初等变换可化为 0 00 007-18-L 00 对应齐次线性方程组的基础解系为a3=(7,280),特征向量为ka3,(k3≠0) 在例8中我们应注意两个问题,一是[4E-X=0的表达式中,x的系数全为零, 对应的齐次线性方程组只有x是自由未知量,[4E-小X=0是四元线性方程组,不要误 认为是由x2,x3,x4组成的三元一次方程组,二是=3是二重特征根,但 [E-4X=0的基础解系由一个解向量组成,一般说来,[E一小X=0的基础解系 所含解向量个数不大于4作为f()=E-A上=0的根的重数
将 1 2 = − 代入 [E − A]X = 0 , 得系数矩阵 − − − − − − − − − − = 0 0 0 4 0 0 4 5 0 0 1 3 2 3 1 2 [ ] 2E A 对 [ ] 2E − A 作初等行变换可化为 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 2 3 1 对应齐次线性方程组的基础解系为 T ( 3, 2, 0, 0) 2 = − , 特征向量为 , ( 0) k2 2 k2 . 将 3 3 = 代入 [E − A]X = 0 , 得 − − − − − − − = 0 0 0 0 0 0 0 5 0 4 1 3 2 3 1 2 [ ] 3E A 对 [ ] 3E − A 作初等变换可化为 − − 0 0 0 0 0 0 0 1 0 4 1 0 1 0 8 7 1 0 对应齐次线性方程组的基础解系为 T (7, 2, 8, 0) 3 = , 特征向量为 , ( 0) k3 3 k3 . 在例 8 中我们应注意两个问题, 一是 [1E − A]X = 0 的表达式中, x1 的系数全为零, 对应的齐次线性方程组只有 x1 是自由未知量, [1E − A]X = 0 是四元线性方程组, 不要误 认为是由 2 3 4 x , x , x 组成的三元一次方程组 . 二 是 3 3 = 是二重特征根 , 但 [3E − A]X = 0 的基础解系由一个解向量组成, 一般说来, [iE − A]X = 0 的基础解系 所含解向量个数不大于 i 作为 f () =| E − A |= 0 的根的重数