二,几个主要定理 定理7-20 若v(x)正定(负定),且沿方程(7-39)的导数 v(x)=()f(x)=∑ f;(x)≤0(≥0)(7-40) 则(7-39)的零解稳定
若v(x)正定（负定），且沿方程（7-39）的导数 f (x) 0( 0) x v ) f(x) x v v(x) ( i n i 1 i T = = = （7-40） 则（7-39）的零解稳定。 二，几个主要定理 定理7-20*
定理7-21*若v(x)正定(负定),且v(x)沿方程 (7-39)解的导数 dv(x) av ()f(x)= f1(x)<0(>0)(7-40 dt Ox ∑ Ox 则(7-39)的零解渐近稳定 ⅴ正定随着x增加而增加<x>0 42=负定,说明运动是按着使v减小 的方向进行的 t∈[,+∞)文<0随着t增加时,x变小
定理7-21* 若v(x)正定（负定），且v(x)沿方程 （7-39）解的导数 f (x) 0( 0) x v ) f(x) x v ( dt dv(x) i n i 1 i T = = = (7-40) 则（7-39）的零解渐近稳定。 随着t增加时，x变小, dt dx dx dV(x) dt dV(x) = t t 0 ,+) x 0 v正定 随着x增加而增加 0 dx dV(x) 负定,说明运动是按着使v减小 的方向进行的
定理7-21**若vx)正定(负定),v(x)沿方程(7-39) 的导数 v(x)=()f(x)=∑f(x)≤0(≥0)(740) 且沿方程(7-39)的任一非零解ⅴ不恒为零, 则(7-39)的零解渐近稳定。 定理720*v(X)>0≤O 稳定 定理721(x)>0 O 渐近稳定 定理721*v(x)>0≤O不恒为零渐近稳定
v 0 v 0 v 0 定理7-20* 定理7-21* 定理7-21** v(x)>0 v(x)>0 v(x)>0 渐近稳定 不恒为零 渐近稳定 稳定 定理7-21** 若v(x)正定（负定），v(x)沿方程（7-39） 的导数 f (x) 0( 0) x v ) f(x) x v v(x) ( i n i 1 i T = = = (7-40)* 且沿方程（7-39）的任一非零解 不恒为零， 则（7-39）的零解渐近稳定。 v
定理7-22*设v(x),k|<E满足 (1)在原点的任意小邻域内,存在ⅴ>0区域,这种 区域可能包含若干个子区域u;。u的边界是由v=0 和=s所组成。 (2)在某个子区域,v>0 则(7-39)的零解是不稳定的
定理7-22* 设v（x）, ‖x ‖ < 满足 （1）在原点的任意小邻域内，存在v>0区域，这种 区域可能包含若干个子区域uj 。 uj的边界是由v=0 和‖x ‖ = 所组成。 （2）在某个子区域, v 0 则（ 7-39）的零解是不稳定的
定理7-22*意义 v>O:uiG=1,2,3) ⅳ>0 u
ε 定理7-22*意义 x1 x2 v>0： uj (j=1,2,3) u2 u1 u3 v 0