一、均差及其性质定义1.设f(x)在互异的节点x,处的函数值为f,i=0,1,.,n称fi-fif[x,x,]=(ij)x,-x;为f(x)关于节点x;，x,一阶差商均差)f[x;,x,]-f[x,,x,]f[x;,X,,x,]=(i±j+k)Xk-Xj为f(x)关于x,x,,x,的二阶差商上页依此类推下页返圆
上页 下页 返回 定义1. 设f (x)在互异的节点xi 处的函数值为 fi ,i 0,1, ,n 称 [ , ] (i j) x x f f f x x i j i j i j 为 ( )关于节点 , 一阶差商(均差) x xi xj f ( ) [ , ] [ , ] [ , , ] i j k x x f x x f x x f x x x k j i k i j i j k 为f (x)关于xi , xj , xk 的二阶差商 依此类推 一、均差及其性质
f[x,,X,,",Xi- I-f[Xi,,Xi,,"",Xix-,,Xixf[x,Xi,,",Xi-,X, ]=Xir-- -Xi为f(x)关于节点x,,x,，",xi,x,的k阶差商显然f[Xo,Xi,.",Xk-1]- f[xo,Xi,..., Xk-2,Xh]f[xo,Xi,."",Xk-,x,]=Xk-1 -Xk上页下页返园
上页 下页 返回 [ , , , , ] 0 1 k 1 k x i x i x i x i f 为f (x)关于节点xi0 , xi1 ,, xik 1 , xik 的 k阶差商 [ , , , , ] x 0 x 1 x k 1 x k f 显然 k k k k k i i i i i i i i i x x f x x x f x x x x 1 0 1 1 0 1 2 [ , ,, ] [ , ,, , ] k k k k k x x f x x x f x x x x 1 0 1 1 0 1 2 [ , ,, ] [ , ,, , ]
差商具有如下性质：(1）f(x)的k阶差商f[xo,Xi,,xk-1,x,]可由函数值f(xo),f(x).f(x)的线性组合表示且f[xo,Xi,""",Xk-1,X]f(x;)- - - --(2)差商具有对称性，即任意调换节点的次序，差商的值不变f[xo,xi,x2] = f[xo,x2,x = f[x2,Xi,xo]如上页下页返回
上页 下页 返回 差商具有如下性质： 的线性组合表示且 的 阶差商 可由函数值 ( ), ( ), , ( ) , (1) ( ) [ , , , , ] 0 1 0 1 1 k k k f x f x f x f x k f x x x x [ , , , , ] x0 x1 xk 1 xk f k i i i i i i i k i x x x x x x x x f x 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2) 差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变 [ , , ] x0 x1 x2 f [ , , ] x0 x2 x1 f [ , , ] x2 x1 x0 如 f
由性质1和性质2，可得：[xo,X, Xk- x] = fxo,X,-- fx,+,x]Xo-Xk(3)当f(k)(x)在包含节点xo,Xj,,x,的区间存在时在x,X,,x,之间必存在一点,使得用余项的相等证明I[xo,x, x = ((5)k!上页下页返园
上页 下页 返回 (3) ( ) , , , , 0 1 当f （k) x 在包含节点x x xk 的区间存在时 在x0 , x1 , , xk 之间必存在一点 ,使 得 [ , , , ] x0 x1 xk f 用余项的 相等证明 ! ( ) ( ) k f k [ , , , , ] x0 x1 xk 1 xk f 由性质1和性质2，可得： k k k x x f x x x f x x x 0 0 1 1 1 2 [ , ,, ] [ , ,, ]