概奉论与散理统计「 ④样本k阶（原点）矩A,=2X,k=1,2； n i=1 其观察值a-之，k=1,2, n i=1 (⑤)样本k阶中心矩 B-2(X-X,k=23, n i=1 其观察值=之(x-x),k=2,3
(4) 样本 k 阶(原点)矩 , 1, 2, ; 1 1 X k n A n i k k i 其观察值 , 1, 2, . 1 1 x k n n i k k i (5)样本 k 阶中心矩 ( ) , 2, 3, ; 1 1 X X k n B n i k k i 其观察值 ( ) , 2, 3, . 1 1 x x k n b n i k k i
概率伦与敖理统外 由以上定义得下述结论： 若总体X的k阶矩E(X)记成4，存在， 则当n→o时，AkP→4k,k=1,2,. 证明因为X1,X2,Xn独立且与X同分布， 所以X,X,.,X独立且与X同分布， 故有 E(X)=E(X2)=.=E(X)=4k: 再根据第五章辛钦定理知 辛钦定理
, , 1, 2, . ( ) , n A k X k E X k P k k k 则当 时 若总体 的 阶矩 记成 存在 证明 , , , , 因为 X1 X2 Xn 独立且与 X 同分布 , , , , 所以 X1 k X2 k Xn k 独立且与 X k同分布 ( ) ( ) ( ) . 1 2 k k n k k 故有 E X E X E X 再根据第五章辛钦定理知 辛钦定理 由以上定义得下述结论:
概奉论与散理统计「 2xP→4，k=12, 由第五章关于依概率收敛的序列的性质知 g(41,A2,A4)→g(41,42,.,44为 其中g是连续函数. 以上结论是下一章所要介绍的矩估计法 的理论根据
由第五章关于依概率收敛的序列的性质知 ( , , , ) ( , , , ), 1 2 1 2 k P k g A A A g 其中g是连续函数. , 1, 2, ; 1 1 X k n k P n i k i 以上结论是下一章所要介绍的矩估计法 的理论根据
概率伦与敖理统外 3.经验分布函数 总体分布函数F(x)相应的统计量称为经验 分布函数. 经验分布函数的做法如下 设X1,X2,Xn是总体F的一个样本， 用S(x)(-0<x<+o)表示X1,X2,Xn中不大 于x的随机变量的个数， 定义经验分布函数F,(x)为 Fn(x)=S(x,（-0<x<+oo)
3. 经验分布函数 . ( ) 分布函数 总体分布函数 F x 相应的统计量称为经验 经验分布函数的做法如下: , , , , 设 X1 X2 Xn是总体 F的一个样本 , ( )( ) , , , 1 2 于 的随机变量的个数 用 表示 中不大 x S x x X X Xn 定义经验分布函数 Fn (x)为 ( ), ( ) 1 ( ) S x x n F x n
概奉论与散理统计「 对于一个样本值，F,(x)的观察值容易求得. (F(x)的观察值仍以Fn(x)表示.) 实例2设总体F具有一个样本值1,2,3， 0,x<1, 则经验分布函数 3' 1≤x<2, F(x)= F(x)的观察值为 3 2≤x<3, 1, x≥3
对于一个样本值, F (x)的观察值容易求得 . n (F (x)的观察值仍以 F (x) 表示.) n n 实例2 设总体 F 具有一个样本值 1, 2, 3, ( ) 3 的观察值为 则经验分布函数 F x 1, 3. , 2 3, 3 2 , 1 2, 3 1 0, 1, ( ) 3 x x x x F x