《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第4章 随机变量的数字特征 第三节协方差及相关系数

概车纶与款理统外 第三节 协方差及相关系数 一、协方差的概念及性质 二、相关系数的概念及意义

一、协方差的概念及性质 二、相关系数的概念及意义 第三节 协方差及相关系数

概车纶与款理统外「 一、协方差的概念及性质 1.问题的提出 若随机变量X和Y相互独立，那么 D(X+Y)=D(X)+D(Y). 若随机变量X和Y不相互独立 D(X+Y)=? D(X+Y)=E(X+Y-E(X+Y) =D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y))

1. 问题的提出 若随机变量 X 和Y 相互独立,那么 D(X + Y ) = D(X) + D(Y ). 若随机变量 X 和Y 不相互独立 D(X + Y ) = ? 2 2 D(X + Y ) = E(X + Y ) − [E(X + Y )] = D(X) + D(Y ) + 2E{[X − E(X)][Y − E(Y )]}. 一、协方差的概念及性质

概率伦与散理统针」 2.协方差的定义 量EIX-E(X)[Y-E(Y)}称为随机变量 X与Y的协方差.记为Cov(X,Y),即 Cov(X,Y)=EIX-E(X)JY-E(Y)] 3.协方差的计算公式 Cov(,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

Cov( , ) {[ ( )][ ( )]}. . Cov( , ), {[ ( )][ ( )]} X Y E X E X Y E Y X Y X Y E X E X Y E Y = − − − − 与 的协方差 记为 即 量 称为随机变量 2. 协方差的定义 3. 协方差的计算公式 Cov(X,Y) = E(XY) − E(X )E(Y)

概華论与款程统外 4.性质 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) (1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X); (2)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b为常数； (3)Cov(Xj+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)

4. 性质 (1) Cov(X,Y ) = Cov(Y, X); (2) Cov(aX,bY) = abCov(X,Y), a, b为常数; (3) Cov( , ) Cov( , ) Cov( , ). X1 + X2 Y = X1 Y + X2 Y Cov(X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y)

概车纶与款理统外 例1设随机变量X,Y具有密度函数 f(x,y)= 3,(x,y)∈G 0, others 其中G由曲线y=x2,x=y2围成，求 y cov(X,Y)

例1 设随机变量 X Y, 具有密度函数 3,( , ) ( , ) 0, x y G f x y others   =   其中G 由曲线 2 2 y x x y = = , 围成，求 cov( , ) X Y y x 0 1 G