概车纶与款理统外 引言 在随机变量的一切可能的分布律中，正态分布占 有特殊重要的地位.实践中经常遇到的大量的随机 变量都是服从正态分布的.就提出这样的问题：为什 么正态分布如此广泛地存在，从而在概率论中占有 如此重要的地位？应该如何解释大量随机现象中的 这一客观规律呢？ 概率论中有关论证随机变量之和的极限分布为 正态分布的定理称为中心极限定理
引言 在随机变量的一切可能的分布律中,正态分布占 有特殊重要的地位.实践中经常遇到的大量的随机 变量都是服从正态分布的.就提出这样的问题:为什 么正态分布如此广泛地存在,从而在概率论中占有 如此重要的地位?应该如何解释大量随机现象中的 这一客观规律呢？ 概率论中有关论证随机变量之和的极限分布为 正态分布的定理称为中心极限定理
概華伦与款程统外 §5.2 中心极限定理 独立随机变量和 设{x}为独立随机变量序列，记其和为 >讨论独立随机变量和的极限分布 >本节指出极限分布为正态分布
§5.2 中心极限定理 ➢ 讨论独立随机变量和的极限分布 ➢ 本节指出极限分布为正态分布 独立随机变量和 设 {Xn} 为独立随机变量序列，记其和为 1 n i i Y X n = =
概车纶与款理统外 一、问题的引入 实例：考察射击命中点与靶心距离的偏差， 这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微 小误差的总和，这些因素包括：瞄准误差、测量 误差、子弹制造过程方面（如外形、重量等）的 误差以及射击时武器的振动、气象因素（如风速、 风向、能见度、温度等)的作用，所有这些不同 因素所引起的微小误差是相互独立的，并且它们 中每一个对总和产生的影响不大 问题：某个随机变量是由大量相互独立且均匀 小的随机变量相加而成的，研究其概率分布情况
一、问题的引入 实例: 考察射击命中点与靶心距离的偏差. 这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微 小误差的总和, 这些因素包括: 瞄准误差、测量 误差、子弹制造过程方面 (如外形、重量等) 的 误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、 风向、能见度、温度等) 的作用, 所有这些不同 因素所引起的微小误差是相互独立的, 并且它们 中每一个对总和产生的影响不大. 问题: 某个随机变量是由大量相互独立且均匀 小的随机变量相加而成的, 研究其概率分布情况
概華论与款醒统外 二、基本定理 定理四（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量X1,X2,.,Xm,.相互独立服从 同一分布，且具有数学期望和方差：E(Xk)=4, D(X)=o2>0(k=1,2,.),则随机变量之和的 标准化变量Y,= 名-容x-“ P2x Nno
二、基本定理 定理四（独立同分布的中心极限定理） 则随机变量之和的 同一分布 且具有数学期望和方差： 设随机变量 相互独立 服 从 ( ) 0 ( 1,2, ), , ( ) , , , , , , 2 1 2 = = = D X k E X X X X k k n − = = = = n k k n k k n k k n D X X E X Y 1 标准化变量 1 1 n X n n k k − = =1
概车纶与款理统外 的分布函数F,(x)对于任意x满足 5w=me②-u】 ≤x n-→oo n-→o √no 2 e2dt=Φ(x), 定理四表明： 当n→o,随机变量序列Y,的分布函数收敛于 标准正态分布的分布函数
− = = → → x n X n F x P F x x n k k n n n n 1 lim ( ) lim 的分布函数 ( ) 对于任意 满 足 定理四表明: . , 标准正态分布的分布函数 当 n → 随机变量序列Yn 的分布函数收敛于 − − = = x t e dt (x). 2π 1 2 2