例3 求R2中旋转变换 o(, y)=(xcos e-ysine, xsin0+ ycos0) 在标准基e1=(1,0),e2=(0,1)下的矩阵 o(e1=(cose, sine)=cos. e1+ sinbe2 (e2)=(-Sin,cosb)=-sine·e1+cosb·e2 (4(4)=(1 cos0 -sin g sin cos 8 若设(x,y)的象a(x,y)在e1,e2下的坐标为(x,y) 则x=xcos9-sin y=xsin0 ycos0 cos e sin e sin e cose 象的坐标 原象的坐标 ‖第六章线变换
例 3 求 R2 中旋转变换 (x, y) = (xcos−ysin, xsin + ycos ) 在标准基 e1= (1, 0), e2= (0, 1)下的矩阵. (e1 ) = (cos, sin ) = cos e1+ sin e2,, (e2 ) = (−sin, cos ) = − sin e1+cos e2,, , . sin cos cos sin ( ( ), ( )) ( , ) 1 2 1 2 − = θ θ θ θ e e e e 解 若设(x, y)的象 (x, y)在e1 , e2下的坐标为(x', y') 则 x' = xcos − ysin y' = xsin + ycos . sin cos cos sin ' ' − = y x y x 象的坐标 原象的坐标 第六章 线性变换 上一页
§2线性变换和矩阵 二、象与原象的坐标变换公式 设∈V在基a12a2,…,an下的坐标为x1,x2,…,xn), 设(5)在基a1,a2…,an下的坐标为0v,y2…,yn),则 a()=)+)2+…+)w=(q·3…∝2) (3) 由 了十…十。X十J0X 得()ox+…+(ox+(19)v=()o s)o:…(s)o、)o)=( 将(3)与(4)比较得 :xa 的坐标 0的矩阵 a的坐标 ‖第六章线变换
二、象与原象的坐标变换公式 设 V, 在基1 , 2 , …, n下的坐标为(x1 , x2 , …, xn ), 设 ( )在基 1 , 2 , …, n下的坐标为 (y1 , y2 , …, yn ), 则 n n (ξ) = y1α1 + y2α2 ++ y α ( , , , ) = 1 2 (3) . 2 1 n y y y §2 线性变换和矩阵 得 ). ( ) ( ) ( ) ( n n 2 2 1 1 x + + x + x = = n n x x x 2 1 2 1 )) α( , ), α( ), α( ( ) , , , ( (4) n 2 1 = 由 n n x + +2 2 x +1 1 x = . 2 1 n x x x A 将(3)与(4)比较得 . 2 1 2 1 = n n x x x A y y y 的 坐 标 () 的 坐 标 的 矩 阵 第六章 线性变换
定理 设a1,a2,,an是向量空间v的一组基,线性变换σ在基a1,a2,…,an 下的矩阵为A.如果与a()在该基下的坐标分别为(x1x2,…,x)和(1, y2,,n),则 例4 设σ是R4的一个线性变换,对V(x1,x2,x3,x4)∈R4,o(x,x,x,x4) =(2x1+x2,3x1-x,x,x1+x4)求σ在标准基E,B2,63,E下的矩阵 (E1)=0(1,0,0,0)=(2,3,0,1)=2+362+E4,(E2)=(0,1,0,0)=(1,0,0,0)=61 (3)=(0,0,1,0)=(0,-1,1,0)=-2+63, (E4)=(0,0,0,1)=(0,0,0,1)=E4 因为(o(o(()o(e1)=(6,6,4,6∥°0 0010 所以σ在S,B2B3,E4下的矩阵为 100 0010 第六章業贱变换
定理1 设1 , 2 , …, n是向量空间 V 的一组基，线性变换 在基 1 , 2 , …, n 下的矩阵为 A . 如果 与 ( ) 在该基下的坐标分别为 (x1 , x2 , …, xn ) 和 (y1 , y2 , …, yn )，则 . 2 1 2 1 = n n x x x A y y y 例 4 设 是 R4 的一个线性变换，对 (x1 , x2 , x3 , x4 ) R4 , (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (2x1+x2 , 3x1−x3 , x3 , x1+x4 ), 求 在标准基 1 , 2 , 3 , 4下的矩阵. ( 1 ) = (1, 0, 0, 0) = (2, 3, 0, 1) =2 1+ 3 2+ 4 , ( 2 )= (0, 1, 0, 0)= (1, 0, 0, 0) = 1 , , ( 3 ) = (0, 0, 1, 0) = (0, −1, 1, 0)=− 2 + 3 , ( 4 ) = (0, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, 1) = 4 . 解 所以 在 1 , 2 , 3 , 4下的矩阵为 . 1 0 0 1 0 0 1 0 3 0 1 0 2 1 0 0 − A = 因为 ( ( ), ( ), ( ), ( )) ε1 ε2 ε3 ε4 . 1 0 0 1 0 0 1 0 3 0 1 0 2 1 0 0 ( , , , ) 1 2 3 4 − = 第六章 线性变换 上一页
§2线性变换和矩阵 三、同一线性变换在不同基下的矩阵 定理2 设a1,a2…,axn和B,B2,,B1是向量空间的两组基线性变换 σ在这两组基下的矩阵分别为A与B,从基a1,a2,…,an到基B1,B2,…, Bn的过渡矩阵是T,则 B= T-IAT (c)(3)…u(")=(c…c")① (B)(b)…(b)=(bb…b2)B3 (B"B…b")=(33…∝") 于是(()(b3)…(B")=a(B"B2…b”) ③ (G(ax)o(a2)…(arn) )=(bb…B)-N 即 B=T-IAT 第六章贱变换
定理 2 设 1 , 2 , , n 和 1 , 2 , , n是向量空间 V 的两组基. 线性变换 在这两组 基下的矩阵分别为 A 与 B, 从基 1 , 2 , , n到基 1 , 2 , , n的过渡矩阵是 T, 则 三、同一线性变换在不同基下的矩阵 B = T −1AT. §2 线性变换和矩阵 ( ( ), ( ), ( )) ( , , ) , σ 1 σ 2 σ n = 1 2 n A ( ( ), ( ), ( )) ( , , ) , σ 1 σ 2 σ n = 1 2 n B ( , , ) ( , , , ) . 1 2 n = 1 2 n T 于是 ( ( ), ( ), ( )) ( , , ) σ 1 σ 2 σ n =σ 1 2 n =σ(1 , 2 , , n )T =σ (1 , 2 , , n )T = σ( (1 ),σ( 2 ),σ( n ))T ( , , , ) . 1 1 2 n T AT − = 即 B=T −1AT. = (1 , 2 , n )AT 证 第六章 线性变换
定义1 设A,B为两个n阶矩阵,如果存在可逆矩阵T使得B=TAT,则称 A与B相似,记作A~B 单击岜可查阅进一步内容 由定理2知线性变换在不同基下的矩阵是相似的;反之,若两矩阵相似,那 么它们可以看作同一线性变换在不同基下的矩阵 定理 设B=PAP,如果线性变换a在基a1,a2,…,axn下的矩阵为A,且 (B,B2,…,Bn)=(a1,a2…,an)P 则σ在基尻1,B2,…,n下的矩阵为B 基a1,a2,…axn下 B= P-lAP 基(B,…,Bn=(a1,…,axn)P下 B 第六章些变换
定义1 第六章 线性变换 设A, B为两个 n 阶矩阵, 如果存在可逆矩阵T, 使得B =T−1AT, 则称 A 与 B 相似, 记作A B. 由定理2知线性变换在不同基下的矩阵是相似的; 反之, 若两矩阵相似, 那 么它们可以看作同一线性变换在不同基下的矩阵. 定理 3 设 B =P−1AP, 如果线性变换 在基 1 , 2 , , n下的矩阵为 A，且 则 在基 1 , 2 , , n 下的矩阵为B. (1 , 2 , , n ) = (1 , 2 , , n )P. 基1 , 2 , , n下 A 基(1 , , n ) = (1 , , n )P B B = P−1AP. 下 单击 此处 可查阅进一步内容 上一页