例3 向量空间中 T:a→a,ya∈p 0,a∈p 显然κ、σ都是线性变换.分别称为恒等变换和零变换,恒等变换记为Ⅰ, 零变换记为0,即 (a)=a,0(a)=0. 例4 R2中σ(x,y)=(xy,0),σ是否是线性变换? 例5 下列变换: or a. a an 2(a1,a2,…,an)→(a1,a2,ay,…,an-1,0) G3:(a1,a2,…,an)→k(a1,a2a3,…,an) olai. a ba,∑ba a 其中(a1,a2…,a)是任一n维向量,b为取定实数,=1,…,n,则a1, a2,G3,O4都是R的线性变换 ‖第六章线变换
例 4 例 3 向量空间 V 中: ：→ ， V ：→ 0， V 显然 、 都是线性变换. 分别称为恒等变换和零变换，恒等变换记为I ， 零变换记为0，即 I () = , 0() = 0. R2 中 ( x, y) = (x y, 0), 是否是线性变换? 例 5 下列变换： 1 :(a1 , a2 , …, an ) → (a1 , 0, 0, …, 0); 2 :(a1 , a2 , …, an ) → (a1 , a2 , a3 , …, an−1 , 0); 3 :(a1 , a2 , …, an ) → k(a1 , a2 , a3 , …, an ); 4 :(a1 , a2 , …, an ) → ( , , , ). 1 1 2 1 1 = = = n j nj j n j j j j n j b ja b a b a 其中(a1 , a2 , …, an ) 是任一 n 维向量，bij 为取定实数 i, j=1, …, n, 则 1 , 2 , 3 , 4 都是 Rn 的线性变换. 第六章 线性变换 上一页 解答
51线性变换的概念 二、线性变换的性质 (1)a(0)=0,a( (a) (2)G(k1a1+k2a2+…+k,a)=k1o(a1)+k2o(a2)+…+ko(a) (3)若a1,a2,a线性相关,则a(a1),a(a2),,a(a,)也线性相关 ‖第六章线变换
二、线性变换的性质 (1) ( 0 ) = 0, ( − ) = − ( ). (2) ( ) 1 1 2 2 s s kα + kα ++ kα ( ) ( ) ( ); 1 1 2 2 s s = k α + k α ++ k α (3) 若1 , 2 , …, s 线性相关，则 (1 ), ( 2 ), …, ( s )也线性相关. §1 线性变换的概念 第六章 线性变换
线性变换的矩 O每原的坐标变换公 O三、用一线变换在不届藻下的繩 BACK
一、线性变换的矩阵 二、象与原象的坐标变换公式 三、同一线性变换在不同基下的矩阵
§2线性变换和矩阵 、线性变换的矩阵 设T是一个n维向量空间,a1,a2,,.axn是V的一组基对于V的一个线性 变换σ,G(a1),o(a2),,o(a)是V中的n个向量,它们能由V的基线性表出 设 o(a1=ana+ a2la2+.ana o(a2)=a12a1+a22C2+…an2an, o(an=anata (a(a1),a(a2)…,a(an)=(a1,a2…,an)|a1a2…a2 ‖第六章线哄变换
§2 线性变换和矩阵 一、线性变换的矩阵 设 V 是一个 n 维向量空间, 1 , 2 , …, n 是 V 的一组基. 对于 V 的一个线性 变换， (1 ), (2 ), …, (n )是 V 中的 n 个向量，它们能由 V 的基线性表出. (1) (1 ) = a111+ a212 + … an1n , (2 ) = a121+ a222 + … an2n , …………… (n ) = a1n1+ a2n2 + … annn , = ( 1 , 2 , …, n ( (1 ), (2 ), …, (n )) ) n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 A 设 第六章 线性变换
(G(a1),(a2),…,(an))=(a1,a2,…,an)4 称矩阵A为线性变换σ在基a1,a2,…,an下的矩阵 o(a1,a2,…,an)=(a(a1),G(a2),…,a(an)) 则有a(a1,a2,…,axn)=(a1,a2,…,axn)A 因此,取定V的一组基后,对于V的线性变换a有唯一确定的n阶方阵A 与它对应 在给定基下 对应 例1 R中恒等变换/(a)=a在每一组基下的矩阵为n阶单位阵 R中零变换0(a)=0在任意基下的矩阵为零矩阵 例 R中线性变换σ(a)=ka,k∈R.σ在每一组基下的矩阵为数量矩阵kEn 称线性变换a(a)=ka(k∈R)为位似变换 ‖第六章线变换
( (1 ), (2 ), …, (n ) ) = (1 , 2 , …, n )A. 称矩阵 A 为线性变换 在基1, 2, …, n 下的矩阵. 记 (1 , 2 , …, n ) = ( (1 ), (2 ), …, (n ) ) 则有 (1 , 2 , …, n ) = (1 , 2 , …, n )A 因此，取定 V 的一组基后，对于 V 的线性变换 有唯一确定的 n 阶方阵 A 与它对应. A 在给定基下 一一对应 例 2 例 1 Rn 中恒等变换 I () = 在每一组基下的矩阵为 n 阶单位阵. Rn 中零变换0() = 0 在任意基下的矩阵为零矩阵. Rn 中线性变换 () = k, k R. 在每一组基下的矩阵为数量矩阵 k En . 称线性变换 () = k (k R )为位似变换 . 第六章 线性变换 上一页