复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第七章 Fourier变换

Methods of Mathematical Physi Chapter 7 Fourier transforms YLMa@ Phys. FDU 于[(-0)+f(t+0)/2.即 f() z。() o)=v2I/oe"dr 上面一对等式上方的积分称为 Fourier积分,其中f(o)由下方等式 决定。f()称为f(1)的 Fourier变换,记为:f(1)妙f(o),f(1)和f(o) 分别称为原函数和象函数。当t是时间变量时,则是频率 f(1) f(a) e doe di s、1p 2r ]f(o)t elore)drdo I(o,)8(o-o)do'=f(o) 当在坐标变量x和动量(波数k)之间变换时,则习惯采用下面的变换: f(x)= f(k)e ∫(x)4>∫(k) f∫(k)= Remarks 1:limf(t)=0由 Jordan引理决定。当z→∞ (0≤ang≤x,即Im≥0)时,f(z)→0(此限制条件为一致地趋于0),则 mnLf(=k"d=0(实常数m>0),其中C是以原点为圆心,半径为R 的上半圆周,即z=Re"(0≤6<r) Remarks2:⊥/o有限的要求可以推广,即∫()=c除外。这是因 为对于连续谱的平面波,其“归一化”系数为δ(a-O)函数 e "(e-edt=2T(o-o,) 2. Fourier变换的基本性质:[f(x)f(k)为例] (1)线性定理:c1f(x)+c2(x)c1f(k)+c22(k),(c1,C2是复常数) (2)相似定理:f(ax)/k (a≠0, scaling 6

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU 6 于 f (t − 0) + f (t + 0)/ 2 . 即 1 ( ) ( ) d ; 2 1 ( ) ( ) d . 2 i t i t f t f e f f t e t         − −  −  =     =    上面一对等式上方的积分称为 Fourier 积分，其中 ( ) ~ f  由下方等式 决定。 ( ) ~ f  称为 f (t) 的 Fourier 变换，记为： ( ) ~ f (t)  f  ，f (t) 和 ( ) ~ f  分别称为原函数和象函数。当 t 是时间变量时，  则是频率。 1 1 1 ' ( ') ( ) [ ( ') d '] d ( ')[ d ]d ' 2 2 2 ( ') ( ')d ' ( ). i t i t i t f t f e e t f e t f f                  + + + + − − − − − − + −  = = − =      当在坐标变量 x 和动量(波数 k )之间变换时，则习惯采用下面的变换： 1 ( ) ( ) d ; 2 1 ( ) ( ) d . 2 ikx ikx f x f k e k f k f x e x    −  − −  =     =    ( ) ~ f (x)  f k . Remarks 1 ： lim ( ) 0 t f t → = 由 Jordan 引 理 决定。 当 z → (0  arg z  ,即Imz  0) 时, f (z)  0 (此限制条件为一致地趋于 0), 则 lim ( ) d = 0  → f z e z imz R CR (实常数m  0) ，其中 CR 是以原点为圆心，半径为 R 的上半圆周, 即 e (0 ). i z R  =     Remarks 2：   − f (t)dt 有限的要求可以推广，即 ' ( ) i t f t e  = 除外。这是因 为对于连续谱的平面波，其“归一化”系数为    ( ') − 函数： ( ') d 2 ( '). i t e t      + − − = −  2. Fourier 变换的基本性质：[ ( ) ~ f (x)  f k 为例] （1） 线性定理： ( ) ~ ( ) ~ ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 c f x + c f x  c f k + c f k ，（ 1 2 c c, 是复常数） （2） 相似定理： 1 ( ) k f ax f a a        (a  0，scaling)

Methods of Mathematical Physics(2016.10) Chapter 7 Fourier tra YLMa@ Phys. FDU 证明:fa)→ ax)e- dx=az f(e ads (3)求导定理 若fm( 0,(m=0,1,2,…,n-1),则 "(x)>(k)f(k),(n= 若f(k)=0,(m=012…n-1),则 (-ax)"f(x)4f(k,(n=1,2,3,) /(x)<5r'(x)"kdr=5"rdf(x) 证明 (x+k=(x)-dx=()(6) 相似地,利用归纳法可以证明更高阶导数定理。 (4)积分定理 若[f(d5=0,则['f(9m(k) 若”()n=0.则-()→∫)d 证明:记叭x)=「f(5)d5, 因为∫_f(5)d5=0,所以o(x),=0,因此由导数定理 p(x) ).又因为 f(5)d5,φ(x)=g'(x)f(g(x))-h(x)f(h(x), 可得φ(x)=f(x)(>f(k) 所以有o(k) ∫(k) 即f(5)d54>f(k) (5)延迟定理:f(x-5)台ef(k) 位移定理:f(x)k>f(k+2) 证明延迟定理:

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU 7 证明： 1 1 1 1 ( ) ( ) d ( ) d 2 2 k i ikx a k f ax f ax e x f e f a a a        − − − −    = =       . （3）求导定理： 若 ( ) ( ) 0, ( 0,1,2, , 1) m x f x m n → = = − ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) , ( 1,2,3, ). n n f x ik f k n  = 若 ( ) ( ) 0, ( 0,1,2, , 1), m k f k m n → = = − 则 ( ) ( ) ( ) ( ) , ( 1,2,3, ). n n −  = ix f x f k n 证明： ( ) 1 1 ( ) ( ) d d ( ) 2 2 1 ( ) ( ) d ( ). 2 ikx ikx x ikx ikx f x f x e x e f x f x e ik f x e x ik f k      − − − =−   − − − −    = = + =    相似地，利用归纳法可以证明更高阶导数定理。 （4）积分定理： 若 f ( )d 0    − =  ，则 1 ( )d ( ) x f f k ik   −   . 若 f ( )d 0    − =  ，则 1 ( ) ( )d k f x f ix   −  −  . 证明：记 ( ) ( )d x    x f −   ， 因为 f ( )d 0    − =  ，所以 ( ) = 0 x→  x ，因此由导数定理： ( ) ~ (x)  ik k . 又因为 ( ) ( ) ( ) ( )d , g x h x    x f =   '( ) '( ) ( ( )) '( ) ( ( )), x g x f g x h x f h x = − 可得 ( ) ~ (x) = f (x)  f k . 所以有 ik f k k ( ) ~ ( ) ~ = , 即 1 ( )d ( ) x f f k ik   −   . （5） 延迟定理： f x e f (k ) ik ~ ( )    − − . 位移定理： ( )   + − f x e f k i ~ ( ) . 证明延迟定理：