南京大学：《离散数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）Lecture 14 子群及其陪集

子群的判定：判定定理一 6 0 G是群，H是G的非空子集。H是G的子群当且仅 当： aVa,b∈H,ab∈H,并且 ▣Va∈H,al∈H (注意：这里是a在G中的逆元，当H确定为群后，它也是a在H中的逆元) 口证明 口必要性显然 口充分性：只须证明G中的单位元也一定在H中，它即 是H的单位元素

 G是群，H是G的非空子集。H是G的子群当且仅 当：  a,bH, abH, 并且  aH, a -1H （注意：这里a -1是a在G中的逆元，当H确定为群后，它也是a在H中的逆元）  证明  必要性显然  充分性：只须证明G中的单位元也一定在H中，它即 是H的单位元素。 6 子群的判定：判定定理一

子群的判定：判定定理二 口G是群，H是G的非空子集。H是G的子群当且仅当： Va,b∈Hab1eH 口证明 口必要性易见 口充分性： ■单位元素：因为H非空，任取M∈H,e=心l∈H ■逆元素：Va∈H,因为e∈H,所以心l=el∈H ■封闭性：Va,b∈H,已证b-1∈H,所以ab=(b11∈H

 G是群，H是G的非空子集。H是G的子群当且仅当： a,bH, ab-1H  证明  必要性易见  充分性： ◼ 单位元素：因为H非空，任取aH, e=aa-1H ◼ 逆元素：aH, 因为eH, 所以 a -1=ea-1H ◼ 封闭性：a,bH, 已证b -1H，所以ab=a(b -1 ) -1H 7 子群的判定：判定定理二

子群的判定：判定定理三 8 G是群，H是G的非空有限子集。H是G的子群当且仅当： Va,b∈H,ab∈H 口证明.必要性显然.下证充分性，只须证明逆元素性 ■若H中只含G的单位元，H显然是子群。 ■否则，任取H中异于单位元的元素考虑序列 ,2,,… 注意：该序列中各项均为有限集合H中的元素，因此， 必有正整数i,jGj>i,满足：=心，由消去率有e=i,因 此： ml=d1∈H

 G是群，H是G的非空有限子集。H是G的子群当且仅当： a,bH, abH  证明. 必要性显然. 下证充分性，只须证明逆元素性 ◼ 若H中只含G的单位元，H显然是子群。 ◼ 否则，任取H中异于单位元的元素a, 考虑序列 a, a 2 , a 3 , ... 注意：该序列中各项均为有限集合H中的元素，因此， 必有正整数i, j(j>i), 满足：a i=a j ,由消去率有e=a j-i，因 此： a -1=a j-i-1 H 8 子群的判定：判定定理三