3、应用虚功原理求静定结构的位移 C务缓 R=P 建立虚功方程:P+Rc=0P△+Pc=0→A==c(个) 1)由虚力原理建立的虚功方程,实质上是几何方程 2)虛荷载与实际位移是彼此独立无关的,为了方便, 可以随意虚设,如设P=1。 3)虚功法求位移的特点是采用平衡的方法求解几何 问题
3、应用虚功原理求静定结构的位移 b a c Δ P=1 b a RA = P 建立虚功方程：PΔ+Rac=0 c b a c b a PD + P = 0 D = - （↑） 1）由虚力原理建立的虚功方程，实质上是几何方程。 2）虚荷载与实际位移是彼此独立无关的，为了方便， 可以随意虚设，如设P=1。 3）虚功法求位移的特点是采用平衡的方法求解几何 问题
刚例靼作用下处于平衡的充分必要条件是 寸于任意微小的虚位移,外力所作的虚功之和等于零。 T≠0 ↓↓4↓↓ 四、变形体系的虚功原理状态1是 满足平衡条件的力状态,状态2是 满足变形连续条件的位移状态,状 态1的外力在状态2的位移上作的外C 虚功等于状态1的各微段的内力在 状态2各微段的变形上作 APN/ML M,+dM 之和v即:T,=变 N+dN 微段的变形可分为e2ds,y2ds,K2ds Q QI+dQ 变 dop, =Kods 12 NC,ds+Oiy2ds+MI Kas 1于」d1度=」NF2+q nds+ mK ds 12N2ds+」rs+」Mk2ds EEE 1=∑Ne2+∑?4+Mx2
刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是， 对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。 T12 ＝ 0 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 三、刚体虚功原理 1 2 四、变形体系的虚功原理:状态1是 满足平衡条件的力状态，状态2是 满足变形连续条件的位移状态，状 态1的外力在状态2的位移上作的外 虚功等于状态1的各微段的内力在 状态2各微段的变形上作的内虚功 之和 变 V12 即：T12 = 变 V12 证明 N1 N1+dN Q1 Q1+dQ M1 ↓↓↓↓ M1+dM ds ds ds ε2ds d2=κ2ds 微段的变形可分为ε2ds，γ2ds，κ2ds = = N ds+ Q ds+ M ds V12 dV12 1 2 1 2 1 2 变 变 e g k 变 12 dV =N1 ε2ds+Q1 γ2ds+M1κ2ds N ds+ Q ds+ M ds 1 2 1 2 1 2 T12 = e g k T = N ds+ Q ds+ M ds 1 2 1 2 1 2 1 k 2 e g ≠ γ2ds
例:图a所示刚架由于某种原因橫梁和立柱同时发生图示常 曲率的弯曲变形且B点无线位移。现已知横梁的曲率为KBC 0.00lm1。试应用虚功原理求立柱AB的曲率κB M=1 B OB C C 虚设力系 A M=1 8m 解:虚功方程为O。-14=∑∫Mk 4=0B=c 0=Kgc×8×1-KA×5×1 KB=KBC=0.0016m1
例：图a所示刚架由于某种原因横梁和立柱同时发生图示常 曲率的弯曲变形且B点无线位移。现已知横梁的曲率为κBC = 0.001m-1 。试应用虚功原理求立柱AB的曲率κAB。 8m 5m A B C θA θB θB θC M=1 M=1 虚设力系 解： 虚功方程为： 1 0 .0016 5 8 - k AB = k BC = m 0 = k BC×8×1 - k AB×5×1 1× - 1× = M dx C A q q k θA=θB=θC
§8:3单位荷载法 P KH K 位移计算的一般公式 71=∑N24+∑.+Mk2P K 需首先虚拟力状态 2y2k2 E 在欲求位移处沿所求位移方向 位移状态2 加上相应的广义单位力P=1 1×+>Rc= KH ∑(2+Q2+M, △=∑好2+22+Mk2)∑Rc(8-10) (8-10)式是结构位移计算的一般公式 注:1)适用于静定结构和超静定结构 P=1 2)材料可以是弹性的也可是非弹性的; N OM 3)产生位移的原因可以是各种因素; 4)既考虑了弯曲变形也考虑了剪切变 虚拟力状态① 形和轴向变形对位移的影响 )(8右边四项乘积当力与变形的 5 方向一致时,乘积取正 R
§8·3 单位荷载法 位移计算的一般公式 T = N ds+ Q ds+ M ds 1 2 1 2 1 2 1 k 2 e g P1 P2 t1 t2 Ε2 γ2κ2 位移状态 2 c1 c2 K K‘ ΔKH P=1 N Q M 虚拟力状态 1 R2 R1 需首先虚拟力状态 在欲求位移处沿所求位移方向 加上相应的广义单位力P=1. ×D + = ( + + ) KH i i R c N Q M ds 2 2 2 1 e g k D = ( + + ) - i i N Q M ds R c 2 2 2 e g k (8–10) (8–10)式是结构位移计算的一般公式, 注:1) 适用于静定结构和超静定结构; 2) 材料可以是弹性的也可是非弹性的; 3) 产生位移的原因可以是各种因素; 4) 既考虑了弯曲变形也考虑了剪切变 形和轴向变形对位移的影响； 5) (8–10)右边四项乘积,当力与变形的 方向一致时,乘积取正
荷载作用下的位移计算 △=∑(2+y2+Mk2)∑Rc(810) △=∑M+∫0gas+2∫Md(815) Np QP M 注:(1)EI、EA、GA是杆件截面度; EA k是截面形状系数k矩=1.2,k圆=10/9。 (2)NP、Qp、M实际荷载引起的内力, 2。kQ|真实位 GA移状态 是产生位移的原因;虚设单位荷载 M 引起的内力是N,Q,M El (3)公式右边各项分别表示轴向、剪切、弯曲变形对位移的影响。 (4)梁和刚架的位移主要是矩引起的△=∑Ma (5)桁架△=∑Ad=∑M1 (6)桁梁混合结构Δ=∑Md+∑A1用于桁架杆 用于梁式杆 7)拱通常只考虑弯曲变形的影响精度就够了;仅在扁平拱中 计算水平位移时才考虑轴向 变形对位移的影响,即 A=∑∫M2+∑[AN EA
荷载作用下的位移计算 D = (N 2 + Q 2 + M 2 )ds-Rici e g k (8–10) ↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑ NP QP MP EI M GA kQ EA N P P P = = = 2 2 2 k g e 真实位 移状态 D = + ds + GA kQQ ds ds EI P MM P EA NNP kp （8–15） 注：（1）EI、EA、GA是杆件截面度； k是截面形状系数k矩=1.2， k圆=10/9。 （2） NP、QP、MP实际荷载引起的内力， 是产生位移的原因；虚设单位荷载 引起的内力是 N,Q, M ds EI MMP （5）桁架 Δ= EA NNP ds = l EA NNP （6）桁梁混合结构 + l EA NN ds EI MMP P 用于梁式杆 用于桁架杆 （7）拱 通常只考虑弯曲变形的影响精度就够了；仅在扁平拱中 计算水平位移 时才考虑轴向 变形对位移的影响，即 ds EI M M P EA NN P Δ= + （3） 公式右边各项分别表示轴向、剪切、弯曲变形对位移的影响。 （4）梁和刚架的位移主要是弯矩引起的 Δ= Δ=