第七章结构位移计算 到上节课为止,我们把五种静定杆件结构的计算问题全讨论过了。我们知道内力计 算问题属强度问题→是结力讨论的首要任务。 讲第一章时,结力的第二大任务:刚度问题,而要解决….,首先应该 刚度校核 杆件结构位移计算 (结构变形+刚度位移) 截面设计 确定Pma 又是超静定结构计算的基础(双重作用)。另外本章主要讨论各种杄件结构的位移 计算问题 结构位移计算的依据是虚功原理,所以本章先讨论刚体、变形体的虚功原理,然后 推导出杄件结构位移计算的一般公式,再讨论各种具体结构的位移计算。 §7-1概述 、结构的位移 画图:梁、刚架、桁架(内力N、Q、M—一拉伸、剪切、弯曲) 截面C线位移:Δc。一般分解 截面C线位移:△ 成水平、垂直两方向:4c、△a 角位移:c 角位移:c B 结点的线位移 两点(截面)相对线位移: 杆件的角位移:A 两截面相对角位移 两杆件相对角位移: 1、位移定义:由于结构变形或其它原因使结构各点的位置产生(相对)移动(线位移), 使杆件横截面产生(相对)转动(角位移)
55 第七章 结构位移计算 到上节课为止，我们把五种静定杆件结构的计算问题全讨论过了。我们知道内力计 算问题属强度问题→是结力讨论的首要任务。 讲第一章时，结力的第二大任务：刚度问题，而要解决…，首先应该… 杆件结构位移计算 （结构变形+刚度位移） → { 刚度校核 截面设计 确定 Pmax 又是超静定结构计算的基础（双重作用）。另外本章主要讨论各种杆件结构的位移 计算问题。 结构位移计算的依据是虚功原理，所以本章先讨论刚体、变形体的虚功原理，然后 推导出杆件结构位移计算的一般公式，再讨论各种具体结构的位移计算。 §7-1 概述 一、结构的位移 画图：梁、刚架、桁架 （内力 N、Q、M——拉伸、剪切、弯曲） 截面 C 线位移： C 角位移： C 结点的线位移： 两点（截面）相对线位移： 杆件的角位移： AB 两截面相对角位移： 两杆件相对角位移： 1、位移定义：由于结构变形或其它原因使结构各点的位置产生（相对）移动（线位移）， 使杆件横截面产生（相对）转动（角位移）。 截面 C 线位移： C 。一般 分解 成水平、垂直两方向： CH 、CV 角位移： C
2、位移的分类:6种 绝对位移:点(截面)线位移一一分解成水平、垂直两方向 截面角位移 杆件角位移 相对位移:两点(截面)相对线位移一一沿连线方向 两截面相对角位移 两杆件相对角位移: 统称为: 广义位移:角、线位移;相对、绝对位移 Δki:k:产生位移的方向;i:引起位移原因。如△A、Δat、△A 广义力:集中力、力偶、分布荷载,也可以是上述各种力的综合 二、引起位移的原因 1、荷载作用:(荷载→内力→变形→位移) 2、温度改变:静定结构,温度改变,→0应力非0应变→结构变形 (材料胀缩引起的位移性质同) 3、支座移动;(无应力,无应变,但几何位置发生变化) 奥位移(制适同 三、计算位移的目的 1)刚度验算:最大挠度的限制 (框架结构弹性层间位移限值1/450) 2)为超静定结构的弹性分析打下基础 3)预先知道变形后的位置,以便作出一定的施工措施 (起重机吊梁、板)(屋架安装)(建筑起拱)(屋窗、门、过梁)(结构要求髙,精密) 四、计算位移的有关假定(简化计算) 1)弹性假设 2)小变形假设 建立平衡、应变与位移、位移与荷载成线性关系 3)理想约束(联结,不考虑阻力摩擦) 变形体系 线性变形体系(线弹性体系) 荷载和位移呈线性关系,且荷载全撤除后位移将全部消 失,无残余变形,(可用位移叠加原理) 非线形变形体系 (分段线形叠加) 4)位移叠加原理(类似内力、反力叠加)
56 2、位移的分类：6 种 绝对位移：点（截面）线位移——分解成水平、垂直两方向 截面角位移： 杆件角位移： 相对位移：两点（截面）相对线位移——沿连线方向 两截面相对角位移： 两杆件相对角位移： 统称为： 广义位移：角、线位移；相对、绝对位移 Δki：k：产生位移的方向；i：引起位移原因。如ΔAP、Δat、ΔAC 广义力：集中力、力偶、分布荷载，也可以是上述各种力的综合 二、引起位移的原因 1、荷载作用：（荷载→内力→变形→位移） 2、温度改变：静定结构，温度改变，→0 应力非 0 应变→结构变形 （材料胀缩引起的位移性质同） 3、支座移动；(无应力，无应变，但几何位置发生变化) { 刚体位移 （制造误差同） 变形位移 三、计算位移的目的 1）刚度验算：最大挠度的限制 （框架结构弹性层间位移限值 1/450） 2）为超静定结构的弹性分析打下基础 3）预先知道变形后的位置，以便作出一定的施工措施： （起重机吊梁、板）（屋架安装）（建筑起拱）（屋窗、门、过梁）（结构要求高，精密） 四、计算位移的有关假定 （简化计算） 1）弹性假设 2）小变形假设 建立平衡、应变与位移、位移与荷载成线性关系 3）理想约束（联结，不考虑阻力摩擦） 变 形 体 系 { 线性变形体系（线弹性体系） 荷载和位移呈线性关系，且荷载全撤除后位移将全部消 失，无残余变形，（可用位移叠加原理） 非线形变形体系 （分段线形叠加） 4）位移叠加原理（类似内力、反力叠加）
§7-2变形体系的虚功原理 位移 实位移:外因作用下结构实际位移 虚位移:根据解题需要,虚设位移状态(满足变形协调+边界条件) 统称为:广义位移 二、功 力所做的功:该力大小乘以力方向上的相应位移 常力的功:T=PX△=P×D×cosa(大小、方向、作用点不变) 变力的功:T=T=,P×cos(P,ds)×ds 力偶所做的功 功两要素:力与位移P:广义力(力、力偶、相对力、相对力偶) Δ:和广义力相对应的广义位移(线、角、相对线、相对角) 注意:在定义功T时,没有说位移Δ是由力P引起的,可能由P或其它原因,但P 力照样作功 例:简支梁,两个集中力,分别作用,先后作用 PL 实功:W=1/2P 实功:W2=1/2P2△2 虚功:W=P1△12 可以看出:不论位移是否由内力引起,只要在力的作用方向上有位移,该力就对位移作 功 引出功的形式有两种 实功:力与位移相关。力在其本身引起的位移上所做的功。积分得:T=P×相对位移 /2,恒正 虚功:力与位移无关。力在由其它原因(别的力、温度变化……)引起的位移上所做 的功,T’=力×位移 注:①力:广义力;位移:广义位移 ②虚虛功并非不存在之意,力和位移是分别属于同一体系的两种彼此无关的状态,只强调 作功的力与位移彼此独立无关:做功的位移不是由力引起的,而是由其它因素(其它力、 其它外因)引起的 ③作虚功的位移,并不限于荷载引起的,也可以由其它原因引起的 ④实功恒为正,虚功可正可负
57 §7-2 变形体系的虚功原理 一、 位移 实位移：外因作用下结构实际位移 虚位移：根据解题需要，虚设位移状态 （满足变形协调＋边界条件） 统称为：广义位移 二、 功： 力所做的功：该力大小乘以力方向上的相应位移 常力的功： T＝P×Δ＝P×D×cosa （大小、方向、作用点不变） 变力的功：Ｔ＝ s dT ＝ s P×cos（ P ，ds）×ds 力偶所做的功： 功两要素：力与位移 P：广义力（力、力偶、相对力、相对力偶） Δ：和广义力相对应的广义位移（线、角、相对线、相对角） 注意：在定义功 T 时，没有说位移Δ是由力 P 引起的，可能由 P 或其它原因，但 P 力照样作功。 例：简支梁，两个集中力，分别作用，先后作用。 可以看出：不论位移是否由内力引起，只要在力的作用方向上有位移，该力就对位移作 功。 引出功的形式有两种： 实功：力与位移相关。 力在其本身引起的位移上所做的功。积分得：T=P×相对位移 /2，恒正 虚功：力与位移无关。 力在由其它原因（别的力、温度变化……）引起的位移上所做 的功，T’＝力×位移 注：①力：广义力；位移：广义位移 ②虚功并非不存在之意，力和位移是分别属于同一体系的两种彼此无关的状态，只强调 作功的力与位移彼此独立无关：做功的位移不是由力引起的，而是由其它因素（其它力、 其它外因）引起的 ③作虚功的位移，并不限于荷载引起的，也可以由其它原因引起的。 ④实功恒为正，虚功可正可负 1 2 Δ11 Δ21 P1 1 2 Δ12 Δ22 P2 1 2 P1 P2 Δ11 Δ12 Δ21 Δ22 实功：W1=1/2P1Δ11 实功：W2=1/2P2Δ22 虚功：W=P1Δ12
⑤两种功计算方法不同 本章讨论虚功原理,目的是为了研究结构的实际状态: 1)未知力:虚位移 2)求位移:虚力 所以作虚功时,力状态和位移状态是彼此无关的,其中任一可以虚设,但并不是随 便假设。 所以对于虚功,应该强调两点: 1)假设的这种虚位移(或虚力)和所研究的实际力系(或实际位移)完全无关,可以 独立地按照我们的目的而虚设 2)假设的虚位移(或虚力)在所研究的结构上应该是可能存在的位移(或力)状态 也就是:位移状态:应该满足结构的变形协调条件,边界条件 力状态:应该满足结构的平衡条件。 1、广义力和广义位移对应(虚功的几种形式) 2、无关 关于虚功的几点说明4、一个实际、一个虚设、解决两类问题 5、独立按求解目的假设 6、满足相应条件 三、刚体虚功原理(简单回顾一下) 对于某一刚体体系,存在一个力状态,满足静力平衡条件 同时存在一个位移状态,满足变形协调条件+边界条件 两种状态无关 对于力状态中所有外力对位移状态中对应的位移所做虚功总和为0 注意:力状态、位移状态可以分别是虚设的,则:虚功原理有两种形式 虚位移原理:求力 虚力原理:求位移 1、虚位移原理,求静定结构的约束力(支反力或内力)(结合例题) 步 取实际力状态,解除待求约束力的约束,用约束力代替,静定结构→可变 骤飞沿待求约束力方向虚设单位位移,以刚体体系产生的位移状态 刚体体系) 虚位移状态 →虚功原理 单位位移法:在拟求未知力X方向虚设单位位移,利用几何关系求8p 特点:利用几何方法求解静力平衡问题。 2、虚力原理,求刚体体系的位移(结合例题) 单位荷载法:在待求位移方向虚加一个单位荷载(两者对应,以达作虚功的目的)
58 ⑤两种功计算方法不同 本章讨论虚功原理，目的是为了研究结构的实际状态： 1）未知力：虚位移 2）求位移：虚力 所以作虚功时，力状态和位移状态是彼此无关的，其中任一可以虚设，但并不是随 便假设。 所以对于虚功，应该强调两点： 1）假设的这种虚位移（或虚力）和所研究的实际力系（或实际位移）完全无关，可以 独立地按照我们的目的而虚设； 2）假设的虚位移（或虚力）在所研究的结构上应该是可能存在的位移（或力）状态； 也就是：位移状态：应该满足结构的变形协调条件，边界条件 力状态：应该满足结构的平衡条件。 关于虚功的几点说明 1、广义力和广义位移对应（虚功的几种形式） 2、无关 3、其他外因 4、一个实际、一个虚设、解决两类问题 5、独立按求解目的假设 6、满足相应条件 三、刚体虚功原理（简单回顾一下） 对于某一刚体体系，存在一个力状态，满足静力平衡条件 同时存在一个位移状态，满足变形协调条件＋边界条件 两种状态无关 ，对于力状态中所有外力对位移状态中对应的位移所做虚功总和为 0。 注意：力状态、位移状态可以分别是虚设的，则：虚功原理有两种形式： 虚位移原理：求力 虚力原理：求位移 1、虚位移原理，求静定结构的约束力（支反力或内力）（结合例题） 步 骤 { 取实际力状态，解除待求约束力的约束，用约束力代替，静定结构→可变 （刚体体系） 沿待求约束力方向虚设单位位移，以刚体体系产生的位移状态 虚位移状态 →虚功原理 单位位移法：在拟求未知力 X 方向虚设单位位移，利用几何关系求δP 。 特点：利用几何方法求解静力平衡问题。 2、虚力原理，求刚体体系的位移（结合例题） 单位荷载法：在待求位移方向虚加一个单位荷载（两者对应，以达作虚功的目的）
特点:用静力平衡的方法来求解几何问题。推广到变形体的位移计算。 3、静定结构在支座移动时的位移计算(结合例题 上面2的方法可以推广一下:从上节课的分析可知,静定结构在支座移动时,不产 生任何内力及变形,因此结构的位移纯属刚体位移,可以利用刚体体系的虚功方程求解。 例 四、变形体体系的虚功原理 弯曲转角、轴向伸缩变形、横向剪切错动 刚体体系的虚功原理不再适用,但可以将之推 由能量守恒:W+H=AEH:外部吸收的能量;W:外力所做的功 ΔE=T+UT:动能:U:变形能的增加(内力做功):E:结构能量的改变 若加载缓慢,不考虑能量损耗: W=U外力所做的功=结构形变能的变化=内力所做的功 变形体体系上第Ⅰ状态的外力沿第Ⅱ状态中相应的位移所作的虚功(外力虚功)= 变形体体系上第Ⅰ状态的内力沿第Ⅱ状态中相应的变形(应变)所作的虚功(内力虚功)。 2、形变能:由于结构的材料发生变形而储存在结构内部的能量,等于加载过程中内力 所做的功: 任一隔离体 轴向拉伸或压缩 剪切错动 弯曲变形 U=内力所做的功 对任一微段:d=JMm+ons+jMao 若各微段的变形连续分布:对一杆件=「Mdm+jo+Mg 对整个结构而言:U=∑∫M+∑o+∑∫AM 3、虚功方程 ∑∫P4=∑「M+∑joh+∑jMo外力虚功=内力虚功 例
59 特点：用静力平衡的方法来求解几何问题。推广到变形体的位移计算。 3、静定结构在支座移动时的位移计算（结合例题） 上面 2 的方法可以推广一下：从上节课的分析可知，静定结构在支座移动时，不产 生任何内力及变形，因此结构的位移纯属刚体位移，可以利用刚体体系的虚功方程求解。 例： 四、变形体体系的虚功原理 1、弯曲转角、轴向伸缩变形、横向剪切错动： 刚体体系的虚功原理不再适用，但可以将之推广： 由能量守恒： W＋H＝E H：外部吸收的能量；W：外力所做的功 E＝T＋U T：动能；U：变形能的增加(内力做功)；E：结构能量的改变 若加载缓慢，不考虑能量损耗： W＝U 外力所做的功＝结构形变能的变化=内力所做的功 变形体体系上第Ⅰ状态的外力沿第Ⅱ状态中相应的位移所作的虚功（外力虚功）= 变形体体系上第Ⅰ状态的内力沿第Ⅱ状态中相应的变形（应变）所作的虚功（内力虚功）。 2、形变能：由于结构的材料发生变形而储存在结构内部的能量，等于加载过程中内力 所做的功： 任一隔离体 轴向拉伸或压缩 剪切错动 弯曲变形 U=内力所做的功 对任一微段： du = Ndu + Qrds + Md 若各微段的变形连续分布：对一杆件 u = Ndu + Qrds + Md 对整个结构而言： U = Ndu + Qrds + Md 3、虚功方程 P.d = Ndu + Qrds + Md 外力虚功=内力虚功 例： du rds dψ