与经典情况不同，量子中算符要满足对易关系，光子是玻色子，对于输入态算符ao,a满足玻色对易关系：[ao, at] = 1, [ai,a] = 1输入态算符间的其它对易关系都为0sine-idcosaUBsineidcosaa对于输出态对应的算符，对易关系也应成立：[a2, a] = 1, [a3, a] = 112
12 与经典情况不同，量子中算符要满足对易关系，光子是玻色 子，对于输入态算符�E!, �E"满足玻色对易关系： �E!, �E! ( = 1, �E", �E" ( = 1 输入态算符间的其它对易关系都为0 � = cos � sin � �')* − sin � �)* cos � 对于输出态对应的算符，对易关系也应成立： �E#, �E# ( = 1, �E$, �E$ ( = 1
o-idaocos 0sin.AeiΦ sin (arcosa根据输入输出之间的变换关系，有[a2, a]= [cos ao +e-iΦ sin ai, cos at + eiΦ sin all= cos? [ao, at] + sin? [a1,a] + e-iΦ sin cos[a,at]+eiΦ sin cos [ao, a]]= cos? + sin?=1容易验证在分束器的变换下，[a3,at]=1也满足思考：有损耗的时候，对易关系是否满足？13
13 �E# �E$ = cos � �')* sin � −�)* sin � cos � �E! �E" 根据输入输出之间的变换关系，有 �E#, �E# ( = cos � �E! + �')* sin � �E", cos � �E! ( + �)* sin � �E" ( = cos# � �E!, �E! ( + sin# � �E", �E" ( + �')* sin � cos � �E", �E! ( +�)* sin � cos � �E!, �E" ( = cos# � + sin# � = 1 容易验证在分束器的变换下， �E$, �E$ ( = 1也满足 思考：有损耗的时候，对易关系是否满足？
如果经典分束时只有一束输入光，那么按下面的方式对应到量子分束的情况是否正确呢？e-iΦ sin)cos aaeiΦsin cos aP我们可以通过验证输出光场的算符之间的对易关系进行检验。按照量子分束的变换关系，上图中az=e-i冲sinai，则[az,al=[e-sinaeipsinal=sin?，不满足玻色对易关系14
14 如果经典分束时只有一束输入光，那么按下面的方式对应 到量子分束的情况是否正确呢？ 我们可以通过验证输出光场的算符之间的对易关系进行检验。 按照量子分束的变换关系，上图中�0! = �(&' sin � �0$，则 �0!, �0! , = �(&' sin � �0$, �&' sin � �0$ , = sin! �，不满足玻色对易关系 �0! �0" = cos � �(&' sin � − �&'sin � cos � 0 �0$ ？
为了满足对易关系，经典中无输入的一端，不在量子中也仍然对应一算符，对应真空态的输入，正确的形式如下：EaEoBSBSE1ae-ipsin)aocos ei中sin acosa15
15 为了满足对易关系，经典中无输入的一端，在量子中也仍然对应 一算符，对应真空态的输入，正确的形式如下： �E# �E$ = cos � �')* sin � − �)*sin � cos � �E! �E
输入和输出的对应关系（自己推一下）(a2ao(cosaisin)当中=时，aoa3a,isineCoseBSat = cosat -isingataz = cosao +isinaiat = -ising at + cos afa3 = isinao +cosaiE由此得到at = cos at + isin atao = cosa2 -isina3a = -isina2 + cosa3al = isin at + cos ata→t,得到az = ao(t)= costao + isintalas = ai(t) = isintao + costai16
16 G �E# = cos � �E! + � sin � �E" �E� = � sin � �E! + cos � �E" 当� = − - # 时， �E# �E$ = cos � �sin � �sin � cos � �E! �E" I �E# ( = cos � �E! ( − � sin � �E" ( �E� ( = −� sin � �E! ( + cos � �E" ( 由此得到 G �E� = cos � �E� − � sin � �E� �E� = −� sin � �E� + cos � �E� I �E� ( = cos � �E� ( + � sin � �E� ( �E� ( = � sin � �E� ( + cos � �E� ( � → �,得到 G �E# = �E�(�) = cos � �E! + � sin � �E" �E� = �E� � = � sin � �E! + cos � �E" ?输入和输出的对应关系 （自己推一下）