第四章电磁场量子化一、电磁场量子化过程二、Fock态表象三、算符代数的运算定律四、Lamb位移五、量子拍频（作业）六、思考题20241007 ygu@pku.edu.cn2
2 第四章 电磁场量子化 一、电磁场量子化过程 二、Fock态表象 三、算符代数的运算定律 四、Lamb位移 五、量子拍频 六、思考题（作业） 20241007 ygu@pku.edu.cn
一、电磁场量子化过程1.问题：如何将电磁场中的能量变成一份份的能量子（即光子）？这个问题分成以下几步来解决：a)写出正确的哈密顿量b）能量以场的形式存在，场是以模式的形式存在，并能用腔中的模式展开（问题：光能不能不以模式的形式存在？）E，H这些可观测量可以写成厄米算符的形式：哈密C顿量H形式上（结构上）与谐振子相同，这里可以套用谐振子量子化的过程d）代入海森堡方程，使量子化的描述可以回到经典3
3 一、电磁场量子化过程 1. 问题：如何将电磁场中的能量变成一份份的能量子（即 光子）？ 这个问题分成以下几步来解决： a) 写出正确的哈密顿量 b) 能量以场的形式存在，场是以模式的形式存在，并 能用腔中的模式展开（问题：光能不能不以模式的形式 存在？） c) �, �这些可观测量可以写成厄米算符的形式；哈密 顿量�形式上（结构上）与谐振子相同，这里可以套用 谐振子量子化的过程 d) 代入海森堡方程，使量子化的描述可以回到经典
a）写出正确的哈密顿量H无论对于经典体系还是量子体系，哈密顿量的物理意义都是表示系统的能量，形式也是相同的在经典体系中，H用力学量进行表达而在量子体系中，H则要用算符来表达我们考虑真空中的一维腔情况。在经典体系中，有HdV(eoE +μoH))我们要与我们已知的谐振子的情况对接，经过处理后形式地p21mvq?给出H=2m2从此就可以利用谐振子量子化步骤完成量子化过程(即从[p,q] = 得到 [a,at] = 1)
4 a) 写出正确的哈密顿量� l 无论对于经典体系还是量子体系，哈密顿量的物理意义都是表示 系统的能量，形式也是相同的 在经典体系中，ℋ用力学量进行表达 而在量子体系中，ℋ则要用算符来表达 l 我们考虑真空中的一维腔情况。在经典体系中，有 ℋ = 1 2 & ! ��(�"�# $ + �"�% $) 我们要与我们已知的谐振子的情况对接，经过处理后形式地 给出 ℋ = &! $' + ( $ ��$�$ 从此就可以利用谐振子量子化步骤完成量子化过程 （即从 �, � = �ℏ得到 �, �) = 1）
b光场用腔的模式展开真空中的一维无源腔的麦克斯韦方程组为：V.D=0(无源p=0)V.B= 0VXH =aD(真空中j=0)ataB=VXEat下面将电磁场EB这些可观测量（B=uH）变为厄米算符5
5 b) 光场用腔的模式展开 l 真空中的一维无源腔的麦克斯韦方程组为： ∇ ' � = 0 (无源� = 0) ∇ ' � = 0 ∇×� = !" !# 真空中⃗ � = 0 ∇×� = − !$ !# 下面将电磁场�, �这些可观测量 � = �� 变为厄米算符
在一维腔中，将电场E，磁场B进行模式展开。这里令电场E为x方向，磁场B为y方向，波矢为z方向F利用V×(V×E)=V(V·E)-2E得到腔内波动方程a?Ex1 a?Ex：00z2c2 at2并且有边界条件：Exlz=0=Exlz=L=06
6 l 在一维腔中，将电场�，磁场�进行模式展开。这里令电 场�为�方向，磁场�为�方向，波矢为�方向 利用∇× ∇×� = ∇ ∇ ' � − ∇%�得到腔内波动方程 �%�& ��% − 1 �% �%�& ��% = 0 并且有边界条件：�&|'() = �&|'(* = 0