ComputationalPhysics本章内容简单方法B..O......C.O.O......C......O.C.多步法和隐式法2Runge-Kutta方法稳定性问题5动力学中的有序和混沌ChenweiJiang,Xi'anJiaotongUniversity,2019
Chenwei Jiang, Xi’an Jiaotong University, 2019 Computational Physics 本章内容 2 多步法和隐式法 1 简单方法 3 Runge-Kutta方法 4 稳定性问题 54 动力学中的有序和混沌
Computational Physics常微分方程的数值解自然界中很多问题的描述，在数学中往往都归结为常微分方程的求解问题例如天文学中研究星体运动、空间技术中研究物体飞行、物理学中研究单摆的运动等，都需要求解常微分方程。L2LLA2L2L2月球就道TGChenweiJiang,Xi'anJiaotongUniversity.2019
Chenwei Jiang, Xi’an Jiaotong University, 2019 Computational Physics • 自然界中很多问题的描述，在数学中往往都归结为常 微分方程的求解问题。 常微分方程的数值解 • 例如天文学中研究星体运动、空间技术中研究物体飞 行、物理学中研究单摆的运动等，都需要求解常微分 方程
Computational Physics虽然求解微分方程有许多解析方法，但解析方法通常只能够求解一些特殊类型的方程或微分方程的一些特殊的情况。从实际意义上来讲我们更关心的是某些特定的自变量在某一个定义范围内的一系列离散点上的近似值22222单摆运动可以用如下常微分方程描述mL0=-mgsin0当0。≤5°时，sin0～0其解析解为G0(t) = 0。cos ot, 0 = /g / LG当很大时，上述常微分方程没有解析解，必须借助数值方法求解该方程，以描述单摆的运动。ChenweiJiang,Xi'anJiaotongUniversity,2019
Chenwei Jiang, Xi’an Jiaotong University, 2019 Computational Physics 虽然求解微分方程有许多解析方法,但解析方法通常只能 够求解一些特殊类型的方程或微分方程的一些特殊的情 况。从实际意义上来讲我们更关心的是某些特定的自变 量在某一个定义范围内的一系列离散点上的近似值。 o 0 当 q qq £ 5 sin 时 ， » . m sin L mg q q = - 0 q q ww ( ) cos , / t t gL = = 单摆运动可以用如下常微分方程描述 其解析解为 当 很大时，上述常微分方程没有解析解，必须借助数 值方法求解该方程，以描述单摆的运动。 q0
ComputationalPhysics一般地，n阶常微分方程，通过引入若干辅助函数可以写成n个耦合的一阶常微分方程以物理学中常见的一个常微分方程（用于描述一维运动粒子）为例dxPd'xmf(x,t)mdi?f(x,t)一组M个耦合的一阶常微分方程可表示为亚是自变量=f(x,J)x>是一组M个因变量因此，只要详细地讨论一阶常微分方程的数值方法就可以了！dy= f(x,y)dxChenweiJiang,Xi'anJiaotongUniversity2019
Chenwei Jiang, Xi’an Jiaotong University, 2019 Computational Physics 以物理学中常见的一个常微分方程（用于描述一维运动粒 子）为例 ( , ) d d 2 2 f x t t x m = ï ï î ï ï í ì = = ( , ) d d d d f x t t p m p t x 一组M个耦合的一阶常微分方程可表示为 ( , ) d d f x y x y = x 是自变量 y是一组M个因变量 因此，只要详细地讨论一阶常微分方程的数值方法就可 以了! ( , ) d d f x y x y = 一般地，n 阶常微分方程，通过引入若干辅助函数可以写 成 n 个耦合的一阶常微分方程
ComputationalPhysics常微分方程的分类初值问题边界值问题本征值问题-类特殊的含有参数一在自变量的两个端点给定待求函数在某的边值问题。只有在上对待求函数施加约个初始点上的值参数取特定值时，方束，如函数值约束、程才有非零解导数值约束...22dp(x)元元=f(x,y)0+k0(x)=0三dx?4J=yo(0)=0(1)= 0y(0) = 0, y(1)= 1Chenwei Jiang,Xi'anJiaotongUniversity,2019
Chenwei Jiang, Xi’an Jiaotong University, 2019 Computational Physics 常微分方程的分类 初值问题 边界值问题 本征值问题 给定待求函数在某 个初始点上的值 在自变量的两个端点 上对待求函数施加约 束，如函数值约束、 导数值约束. 一类特殊的含有参数 的边值问题。只有在 参数取特定值时，方 程才有非零解 0 d (, ) d x a y f xy x y y = ì ï = í ï = î ï î ï í ì = = ¢¢ + + = (0) 0, (1) 1 0 4 π 4 π 2 2 y y y y ï î ï í ì = = + = (0) (1) 0 ( ) 0 d d ( ) 2 2 2 j j j j k x x x