第六章PQW-表示一、P-表示和O-表示存在的必要性二、P-表示（coherentstate-representation）三、Q-表示（squeezedstate-representation）四、Wigner函数五、思考题20241024ygu@pku.edu.cn2
2 第六章 PQW-表示 一、P-表示和Q-表示存在的必要性 五、思考题 二、P-表示（ coherent state -representation） 三、Q-表示（ squeezed state -representation） 四、Wigner 函数 20241024 ygu@pku.edu.cn
一、P表示和Q表示存在的必要性经典中定义的很好的物理量（如电场E）在量子体系中有涨落。由于E=eae-itsinkz+H.C.，算符E只有在具体的量子态中平均，才能给出物理量。而量子态不一定是E的本征态，并且有一定分布，k(t)所以E的涨落不可避免所以准确知道物理量的涨落情况，必须用到密度算符，通常很复杂。后来，人们发现，计算o(a,a+)的期望值时，只需将①O做正规排列(O→O~)或反正规排列(O→OAN)2并将算符变成C数，即O(a,a）→On(α,α*），OAn(a, a+) → OAn(α, α*)再乘以仅对角元存在的分布函数P(α,α*)或Q(α,α*)即可3这是一个由量子对应到经典的过程3
3 一、P表示和Q表示存在的必要性 1. 经典中定义的很好的物理量（如电场�）在量子体系中有涨落。 l 由于�" = �̂���!"�$����� + �. �.，算符�"只有在具体的量子态中平均， 才能给出物理量。而量子态不一定是�"的本征态，并且有一定分布， 所以�"的涨落不可避免 l 所以准确知道物理量的涨落情况，必须用到密度算符�1，通常�1很 复杂。后来，人们发现，计算�" �, �% 的期望值时， 只需将① 5 �做正规排列(�" → �"&)或反正规排列(�" → �" '&) ② 并将算符变成 C 数 ， 即 �"&(�, �% ) → �&(�, �∗) ， �" '& �, �% → �'& �, �∗ ③ 再乘以仅对角元存在的分布函数�(�, �∗)或�(�, �∗)即可 这是一个由量子对应到经典的过程
2.密度算符在各个表象中的表示宏观物理量（用算符表示）0在态/）上的平均为(0)0m=(/01)量子平均，因此有同时4）又有一定的几率分布P山统计平均，ZP(0)QM中ensemble插入单位算符Znln)《nl=1，得MM(<0) =P(|0|n)(n/)nZNPa(nl)(l0n)=ZnPX0l0/n)山山nn而Pμl(=,故(0)=tr[p] =tr[0]4
4 2. 密度算符�1在各个表象中的表示 宏观物理量（用算符表示）�!在态|�⟩上的平均为 �! !" = � �! � ——量子平均， 同时|�⟩又有一定的几率分布�#——统计平均，因此有 �! !" $%&$'()$ = ) # �# � �! � 插入单位算符∑% �⟩⟨� = 1，得 � = ) % ) # �# � �! � ⟨�|�⟩ = ) % ) # �# ⟨�|�⟩ � �! � = ) % ⟨�|) # �#�. � �! � 而∑# �#|�⟩/�| = �0 ,故 � = �� �0�! = ��[�!�0]
(0)= tr[p0]= tr[0p]的证明（自己推一下）tr[p0] =Z(nlp0|n)nZZ(n|p|m)(m|0|n)mnZZ(m|0|n)(nlp|m)mn=Z(ml0plm)m= tr[0p]进一步的：tr[AO] = tr[0A]5
5 �" = tr �1�" = tr �"�1 的证明 （自己推一下） tr �1�" = > ) � �1�" � = > ) > * � �1 � � �" � = > ) > * � �" � � �1 � = > * � �"�1 � = tr �"�1 进一步的：tr A5�" = tr �"A5
p在Fock态中的展开形式插入两次单体算符：ZZZp=n)(nlp|m)(m| =Pnm [n)(mlnmnm6在相干态中的展开形式插入两次单体算符：1[α)α|plββ|元元xdOY[α)Pαβ(β|元元此时非对角元存在，计算复杂。6
6 �1在Fock态中的展开形式 插入两次单体算符： � = > ) > * | �⟩⟨�|�|�⟩⟨�| = > )* �)* |�⟩⟨�| �1在相干态中的展开形式 插入两次单体算符： � = D�+� � �+� � |�⟩⟨�|�|�⟩⟨�| = D�+� � �+� � |�⟩�,-⟨�| 此时非对角元存在，计算复杂