本章内容XI'ANJIAOTONGUNIVERSITY数值微分2数值积分3方程求根分子振动的半经典量子化交道大学
XI’AN JIAOTONG UNIVERSITY 本章内容 1 数值微分 2 数值积分 3 方程求根 4 分子振动的半经典量子化5
1.数值微分XI'ANJIAOTONGUNIVERSITY为什么要学习数值微分？我们碰到的函数往往没有解析形式，例如可能是如下数表形式如利用计算所得势能曲线上的点求梯度力。0.50.10.20.30.4x6844.5f(x)8.5这就需要借助于数值微分。当函数f(x）过于复杂时，也可借助数值微分。更重要的，数值微分是其它很多数值方法的基础
XI’AN JIAOTONG UNIVERSITY 1. 数值微分 为什么要学习数值微分？ 我们碰到的函数往往没有解析形式，例如可能是如下数表形式 如利用计算所得势能曲线上的点求梯度力。 x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 f(x) 4 4.5 6 8 8.5 这就需要借助于数值微分。 当函数f(x)过于复杂时，也可借助数值微分。 更重要的，数值微分是其它很多数值方法的基础
XIANJIAOTONGUNIVERSITY微积分中，关于导数的定义如下：f(x+h)- f(x-h)f(x+ h)- f(x) - lim f(x)- f(x-h)f(x)= lim Tinlim2hhhh-→0h→0h→0自然，而又简单的方法就是，取极限的近似值，即差商（差分）向前差分f(xo +h)- f(x)f(xo)~)h由Taylor展开h?f(xo+h)= f(x)+hf(x-2!h?"(E),xo ≤=≤x +h= f(xo)+ hf '(xo)2!h= f(x0)= f(xo +h)-f(x0)f"(), x ≤≤ x +hh21
XI’AN JIAOTONG UNIVERSITY 微积分中，关于导数的定义如下： 000 ( ) () () ( ) ( ) ( ) '( ) lim lim lim hhh 2 fx h fx fx fx h fx h fx h f x ®®® hh h + - - - + - - === 自然，而又简单的方法就是，取极限的近似值，即差商（差分） 0 0 0 ( ) () '( ) fx h fx f x h + - » 由Taylor展开 2 0 00 0 2 0 0 00 ( ) () () () 2! ( ) '( ) ''( ), 2! h f x h f x hf x f x h f x hf x f x x h x x += + + + ¢ ¢¢ ××× =+ + £ £ + 向前差分 0 0 0 00 ( ) () '( ) ''( ), 2! fx h fx h fx f x x h h x x + - Þ = - ££ +
XI'ANJIAOTONGUNIVERSITY因此，有误差hf(xo +h)- f(xo)R(x)= f(xo)- ()= 0(h)h2!向后差分f(xo)- f(xo -h)f'xh由Taylor展开h?f(xo -h)= f(xo)- hf'(xo+2!h?F"(E),x≤=≤x。 + h= f(xo)- hf'(xo2!爱通大学nf(xo)- f(x。-h)"(5),xo ≤5≤x。 + h=f'(x2h
XI’AN JIAOTONG UNIVERSITY 因此，有误差 0 0 0 ( ) () ( ) '( ) ''( ) ( ) 2 ! fx h fx h Rx f x f O h x h + - = - = - = 0 0 0 () ( ) '( ) fx fx h f x h - - » 2 0 00 0 2 0 0 00 ( ) () () () 2! ( ) '( ) ''( ), 2! h f x h f x hf x f x h f x hf x f x x h x x - = - ¢ ¢¢ + -××× = - + £ £ + 向后差分 由Taylor展开 0 0 0 00 () ( ) '( ) ''( ), 2 fx fx h h fx f x x h h x x - - Þ = + £ £ +
XI'ANJIAOTONGUNIVERSITY因此，有误差f(xo)-f(x-h) hR(x) = f'(xof "() = 0(h)2!h中心差分f(xo + h)- f(xo - h)f'(x.2 h由Taylor展开hh?f(x +h)= f(x)+hf'(x3!2!h3h?(5),x ≤Ei ≤ x + h= f(xo)+ hf '(xo3!2!h3h2f(xo - h)= f(xo)- hf'(xo+：3!2!复通大学h2h3= f(xo)- hf'(x(52),x0 - h≤52 ≤xo2!3!
XI’AN JIAOTONG UNIVERSITY 0 0 0 () ( ) ( ) '( ) ''( ) ( ) 2 ! fx fx h h Rx f f O x h h x - - = - = = 0 0 0 ( )( ) '( ) 2 fx h fx h f x h + - - 中心差分 » 因此，有误差 2 3 0 00 0 0 2 3 0 0 0 10 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) '''( ) 2! 3! ( ) '( ) ''( ) '''( ), 2! 3! h h f x h f x hf x f x f x h h f x hf x f x f x x h x x += + + + + ¢ ¢¢ ××× =+ + + £ £ + 由Taylor展开 2 3 0 00 0 0 2 3 0 0 0 20 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) '''( ) 2! 3! ( ) '( ) ''( ) '''( ), 2! 3! h h f x h f x hf x f x f x h h f x hf x f x f x h x x x - = - ¢ ¢¢ + - + ××× = - + - -£ £