开放量子系统的动力学冯俊西安交通大学理论物理研究所(2021.06.11)1主方程随机现象在自然界非常普遍。经典物理中，这可以由我们对系统认知缺失引起，例如，对一盒气体来说由于不清楚其确定的微观态，因此气体分子和容器壁的碰撞就是随机性的。在量子物理里，Schrodinger方程是波函数的方程，而非力学量或观测量的方程，因此对力学量的测量导致随机的结果，可以用一组概率分布描述。对动力学系统，这样的概率（对应不同的测量结果）应该随时间变化，而刻画这种“概率的动力学”方程称为主方程（masterequation）。Definition.所谓主方程是一种刻画概率随时间演化的一阶微分方程，即对离散的事件kE[1,..,N]，相应的概率满足dp-[TePe-TaP](1.0.1)dt其中Tke≥0称为从事件或态l到事件或态k的转移率（transitionrate）。注意到转移率一定是正定的，即Tke(t)≥0；当转移矩阵Tke对称时，代表主方程描述的是一个可逆过程。主方程在大多数时候都是通过现象总结出来，而非通过第一原理得到。但是在量子开放系统中，有相当大类是可以通过微观模型来构建出来的。主方程刻画的随机过程有一种重要的平衡状态：Definition.当对所有的稳定态P，有等式TP=TP成立的话，此时主方程称为达到了细致平衡(detailedbalance)例如，Einstein在建立广义相对论后转向了研究原子激发谱的问题：原子与外界（黑体）辐射场相互作用达到热平衡。对二级（two-level）的简单系统，当与外界达到热平衡时N,Pi→2 = N2 P21(1.0.2)其中N2/Ni=e-AE/ksT，因此细致平衡给出P1-2/P2→1=e-△E/knT1。下面总结一些主方程的性质：总概率守恒Z =Z(TuPe- TaPR)-(TaPe-TaP)=0(1.0.3)Ldt-kekl1当原子从低能级向高能级跃迁时，吸收了环境的能量，有Al→2=Buw，其中u是频率为w=(E2-E1)/h的辐射能量密度，B是Einstein系数。另一方面，在环境中，原子由高能级向低能级跃迁，实际上对应两种向外的能量辐射过程，一种是仍然是环境引起的Buu，另一种称为原子的自发辐射，对应概率记作A，于是有P2→1=Buu+A
开放量子系统的动力学 冯 俊 西安交通大学理论物理研究所 （2021.06.11） 1 主方程 随机现象在自然界非常普遍。经典物理中，这可以由我们对系统认知缺失引起，例如，对一盒气体来说， 由于不清楚其确定的微观态，因此气体分子和容器壁的碰撞就是随机性的。在量子物理里，Schrödinger 方 程是波函数的方程，而非力学量或观测量的方程，因此对力学量的测量导致随机的结果，可以用一组概率分 布描述。对动力学系统，这样的概率（对应不同的测量结果）应该随时间变化，而刻画这种“概率的动力学” 方程称为主方程（master equation）。 Definition. 所谓主方程是一种刻画概率随时间演化的一阶微分方程，即对离散的事件 k ∈ {1, . . . , N}， 相应的概率满足 dPk dt = ∑ ℓ [TkℓPℓ − TℓkPk] (1.0.1) 其中 Tkℓ ≥ 0 称为从事件或态 ℓ 到事件或态 k 的转移率（transition rate）。 注意到转移率一定是正定的，即 Tkℓ(t) ≥ 0；当转移矩阵 Tkℓ 对称时，代表主方程描述的是一个可逆过 程。主方程在大多数时候都是通过现象总结出来，而非通过第一原理得到。但是在量子开放系统中，有相当 大类是可以通过微观模型来构建出来的。 主方程刻画的随机过程有一种重要的平衡状态： Definition. 当对所有的稳定态 P¯ i，有等式 TkℓP¯ ℓ = TℓkP¯ k 成立的话，此时主方程称为达到了细致平衡 （detailed balance）。 例如，Einstein 在建立广义相对论后转向了研究原子激发谱的问题：原子与外界（黑体）辐射场相互作 用达到热平衡。对二级（two-level）的简单系统，当与外界达到热平衡时 N1P˙ 1→2 = N2P˙ 2→1 (1.0.2) 其中 N2/N1 = e −∆E/kBT，因此细致平衡给出 P˙ 1→2/P˙ 2→1 = e −∆E/kBT 1。 下面总结一些主方程的性质： 总概率守恒 ∑ k dPk dt = ∑ kℓ (TkℓPℓ − TℓkPk) = ∑ kℓ (TℓkPk − TℓkPk) = 0 (1.0.3) 1当原子从低能级向高能级跃迁时，吸收了环境的能量，有 P˙ 1→2 = Buw，其中 uw 是频率为 w = (E2 − E1) /ℏ 的辐射能量密度， B 是 Einstein 系数。另一方面，在环境中，原子由高能级向低能级跃迁，实际上对应两种向外的能量辐射过程，一种是仍然是环境引 起的 Buw，另一种称为原子的自发辐射，对应概率记作 A，于是有 P˙ 2→1 = Buw + A
21主方程演化中概率非负给定初始概率0≤P(O)≤1后，以后任何时刻的概率不会是负的。令P是第一个（在某个时刻t）演化到零的概率（其他概率还是非零），其时间导数为dPk=+TkeP≥0(1.0.4)dtPa=0l可见即使某时刻某个事件对应的概率达到零，P（t）会开始增长。演化中概率不超过1由于同时有,P=1和P≥0，所以事件概率在演化中始终有0≤P(t)≤1。下面举几个以主方程刻画的体系例子Example1.1.涨落的二级系统。系统包含两个可能的态，对应含时概率Po(t)和Pi(t)。引入动力学：令0→1的转移率为T10>0，1→0的转移率为To1>0。于是，若给定t时刻处于0态后，在(t+△t)时刻系统演化至1态的概率可以写作Tio△t。对应主方程为Po-T10+T01P(1.0.5)(+Tio-To1IP注意到在矩阵形式下，转移矩阵的迹是守恒的，这是由转移矩阵的所有列的元素和为零这一事实保证的。这个结论以后在一般意义上也是对的。这个二级系统是容易求解的。Pi =1- Po=→ Po= - (Tio + To1) Po + To1(1.0.6)此方程的通解是由一个特解和对应齐次方程的通解组合而来。可以找到特解为稳定态Po=T，于是完整解为To1Po(t) = Ae-(Tio+To)t +(1.0.7)Tio+To系数A可以用初条件PO=A+固定。最终我们得到主方程的完整解为：ToPo(t) = Pe-(Tro+Toa)t +[1-e-(Tio+Tor)t(1.0.8) Tio + To1Ti01 -e-(Tio+Ton)tPi(t) = (1 - PO)e-(Tio+Ton)t +(1.0.9)J Tio + To1细致平衡态满足ToTio-= ToPoToiP =(1.0.10)Tio + To1“这些事件可以是分子的两种构造，可以是自旋的两种构型，或者原子的基态和激发态。Example1.2.扩散方程。先考虑简单的情形。一维无限的格点链，分子可以在这些格点上扩散。设其向各方向的转移率是均匀和一致的T0t，如图1.(a）所示。于是迁移概率满足离散的主方程：P(t) =TPi-1(t) + TPi+1(t) -2TP(t)= TAz2P-(t)+ P+(0) -2P()(1.0.11)Ar2在连续极限（△→0、T→8o且保持D=T△2不变）下，主方程过渡成连续的微分方程：aP(,t) = DP(c,t)其中D=TA?(1.0.12)at0r2其中D称为扩散常数（diffusionconstant）。这样的方程通常被用来描述稀释极限下的化学物扩散、细菌的动力学中的无定向输运过程。自然的，作为主方程，我们知道它是保概率正定和总概率和的，即P(r,t) ≥0 and J-8 P(r,t)dr = 1
1 主方程 2 演化中概率非负 给定初始概率 0 ≤ Pi(0) ≤ 1 后，以后任何时刻的概率不会是负的。令 Pk 是第一个（在某 个时刻 t）演化到零的概率（其他概率还是非零），其时间导数为 dPk dt Pk=0 = +∑ ℓ TkℓPℓ ≥ 0 (1.0.4) 可见即使某时刻某个事件对应的概率达到零，Pk(t) 会开始增长。 演化中概率不超过 1 由于同时有 ∑ k Pk = 1 和 Pk ≥ 0，所以事件概率在演化中始终有 0 ≤ Pi(t) ≤ 1。 下面举几个以主方程刻画的体系例子 Example 1.1. 涨落的二级系统。系统包含两个可能的态a，对应含时概率 P0(t) 和 P1(t)。引入动力学： 令 0 → 1 的转移率为 T10 > 0，1 → 0 的转移率为 T01 > 0。于是，若给定 t 时刻处于 0 态后，在 (t + ∆t) 时刻系统演化至 1 态的概率可以写作 T10∆t。对应主方程为 d dt ( P0 P1 ) = ( −T10 +T01 +T10 −T01 ) ( P0 P1 ) (1.0.5) 注意到在矩阵形式下，转移矩阵的迹是守恒的，这是由转移矩阵的所有列的元素和为零这一事实保证 的。这个结论以后在一般意义上也是对的。 这个二级系统是容易求解的。 P1 = 1 − P0 =⇒ P˙ 0 = − (T10 + T01) P0 + T01 (1.0.6) 此方程的通解是由一个特解和对应齐次方程的通解组合而来。可以找到特解为稳定态 P¯ 0 = T01 T10+T01 ，于 是完整解为 P0(t) = Ae−(T10+T01)t + T01 T10 + T01 (1.0.7) 系数 A 可以用初条件 P 0 0 = A + T01 T10+T01 固定。最终我们得到主方程的完整解为： P0(t) = P 0 0 e −(T10+T01)t + [ 1 − e −(T10+T01)t ] T01 T10 + T01 (1.0.8) P1(t) = ( 1 − P 0 0 ) e −(T10+T01)t + [ 1 − e −(T10+T01)t ] T10 T10 + T01 . (1.0.9) 细致平衡态满足 T01P¯ 1 = T01T10 T10 + T01 = T10P¯ 0 (1.0.10) a这些事件可以是分子的两种构造，可以是自旋的两种构型，或者原子的基态和激发态。 Example 1.2. 扩散方程。先考虑简单的情形。一维无限的格点链，分子可以在这些格点上扩散。设其 向各方向的转移率是均匀和一致的 T > 0t，如图1.(a) 所示。于是迁移概率满足离散的主方程： P˙ i(t) = T Pi−1(t) + T Pi+1(t) − 2T Pi(t) = T ∆x 2 Pi−1(t) + Pi+1(t) − 2Pi(t) ∆x 2 (1.0.11) 在连续极限（∆x → 0 、T → ∞ 且保持 D = T ∆x 2 不变）下，主方程过渡成连续的微分方程： ∂P(x, t) ∂t = D ∂ 2P(x, t) ∂x2 其中 D = T ∆x 2 (1.0.12) 其中 D 称为扩散常数（diffusion constant）。这样的方程通常被用来描述稀释极限下的化学物扩散、细 菌的动力学中的无定向输运过程。自然的，作为主方程，我们知道它是保概率正定和总概率和的，即 P(x, t) ≥ 0 and ∫ +∞ −∞ P(x, t)dx = 1
1主方程3(a)TTi..ArP(t)T-1.T,+1,(b)图1：一维格点链之间的跃迁。（a）均匀和各向同性的转移率T（b）转移率Tii≥0可以是非均匀的Ti≠T，也可以是各向异性的TuTji现在推广到更复杂的问题。不同方向和不同格点处的转移率是不一样的，如图1.(b）所示。例如，非均匀介质中会发生输运现象，从而有依赖于位置的转移率：有外场（如电子）时可以有依赖方向的转移率。在次近邻近似下，可以写出P, = T.-1P-1(t) + Ti+1Pi+1(t) - (T-1,i + T+1,) P(t)(1.0.13)为了得到连续主方程，我们可以猜测如下形式，做离散化和上式比较ap02a0a [4(r)P(,t) ++[B()P(,t)]otAi-1Pi-1- 2A,P, + Ai+1Pi+1 +Bi+iPi+1 - Bi-1Pi-1三△r2242Bi-12A;[Ai+1+Ai-Bi+1(1.0.14)D.P.Pi+1△r224TAT△122△r可知Ar2Ai =(1.0.15)[Ti-1,+T+1,],B;=△r[Ti-1,i-Ti+1,]2于是，我们知道之前的猜测是正确的，即著名的Fokker-Planck方程ap82a.[B(a)P(r,t)](1.0.16)0 =02[4(a) P(z, )] +or其中A(）≥0可以保证P(,t)的正定性和守恒的概率和。-个问题：Fokker-Planck方程和量子动力学的关系？Example1.3.细胞培养增殖（CellCultureGrowth）。考虑一群细胞，每个都有一定比例α增殖。这些细胞活在培养皿内，自然几何上是受限的。换言之，可以假设培养皿内至多只能有K个细胞。令P(t)表示培养皿中有i个细胞的概率，假设细胞增殖率α足够小后，可以建立主方程：Po=0,P=-1-Q.P,P2=-2-a.P+1.QP目P =-l.α·P+(l-1)·Q-Pi-1
1 主方程 3 （a） （b） 图 1: 一维格点链之间的跃迁。（a）均匀和各向同性的转移率 T（b）转移率 Tij ≥ 0 可以是非均匀的 Tij ̸= T，也可以是各向异性的 Tij ̸= Tji 现在推广到更复杂的问题。不同方向和不同格点处的转移率是不一样的，如图1.(b) 所示。例如，非均 匀介质中会发生输运现象，从而有依赖于位置的转移率；有外场（如电子）时可以有依赖方向的转移 率。在次近邻近似下，可以写出 P˙ i = Ti,i−1Pi−1(t) + Ti,i+1Pi+1(t) − (Ti−1,i + Ti+1,i) Pi(t) (1.0.13) 为了得到连续主方程，我们可以猜测如下形式，做离散化和上式比较 ∂P ∂t = ∂ 2 ∂x2 [A(x)P(x, t)] + ∂ ∂x[B(x)P(x, t)] ≡ Ai−1Pi−1 − 2AiPi + Ai+1Pi+1 ∆x 2 + Bi+1Pi+1 − Bi−1Pi−1 2∆x = [ Ai−1 ∆x 2 − Bi−1 2∆x ] Pi−1 − 2Ai ∆x 2 Pi + [ Ai+1 ∆x 2 + Bi+1 2∆x ] Pi+1 (1.0.14) 可知 Ai = ∆x 2 2 [Ti−1,i + Ti+1,i] , Bi = ∆x [Ti−1,i − Ti+1,i] (1.0.15) 于是，我们知道之前的猜测是正确的，即著名的 Fokker–Planck 方程 ∂P ∂t = ∂ 2 ∂x2 [A(x)P(x, t)] + ∂ ∂x[B(x)P(x, t)] (1.0.16) 其中 A(x) ≥ 0 可以保证 P(x, t) 的正定性和守恒的概率和。 一个问题：Fokker–Planck 方程和量子动力学的关系？ Example 1.3. 细胞培养增殖（Cell Culture Growth）。考虑一群细胞，每个都有一定比例 α 增殖。这些 细胞活在培养皿内，自然几何上是受限的。换言之，可以假设培养皿内至多只能有 K 个细胞。令 Pi(t) 表示培养皿中有 i 个细胞的概率，假设细胞增殖率 α 足够小后，可以建立主方程： P˙ 0 = 0, P˙ 1 = −1 · α · P1, P˙ 2 = −2 · α · P2 + 1 · α · P1, . . . P˙ ℓ = −ℓ · α · Pℓ + (ℓ − 1) · α · Pℓ−1, . .
2密度矩阵4Pk-1=-(K-1)-α-PK-1+(K-2)-α·Pk-2Pk =+(K - 1)·αPk-1初条件设为单细胞P(0)=1和P￥1(0)=0，我们可以改变容量K=(1,2,3,4,..}，并且求解给定K时对应主方程的解： Pl<k(t)=e-tat (eat -1)e-1 和 Pk(t)=e-(K-1)at (eat_ 1)K-1。细胞数期望值(e)=EK,lPe(t)可以解得为(0) = e+ot [1 - (1 -e-at) K](1.0.17)specifiimaan100h1=L9810图2:细胞培养增殖。主方程解和logistic增长方程N=α(1-)N解的比较。2密度矩阵Definition.任何密度矩阵可以写作p=pi更) (更l(2.0.1)其中0≤pi<1表示处于态[Φ）的概率，且,pi=1。一般地，构成密度矩阵的态不要求是正交的，即（Φ|雪）≠ij。为Hilbert空间选取基（li):-后，密度矩阵可以表示为PooPo1PONNp10pi1PINpisli)(il=(2.0.2):目i.j=1PNOPNIPNN其对角元素称为布居（population），非对角元称为相干（coherence）。形式上，密度矩阵需要满足以下性质：自伴随：pt=p归一化：Tr[p}=1正定性：对所有失量亚，有（亚pld）≥0Gleason定理保证了满足以上条件的矩阵必是一个正确的密度矩阵，它是量子系统态的最一般形式
2 密度矩阵 4 P˙K−1 = −(K − 1) · α · PK−1 + (K − 2) · α · PK−2 P˙K = +(K − 1) · αPK−1 初条件设为单细胞 P1(0) = 1 和 Pℓ̸=1(0) = 0，我们可以改变容量 K = {1, 2, 3, 4, . . .}，并且求解给定 K 时对应主方程的解：Pℓ<K(t) = e −ℓαt (e αt − 1)ℓ−1 和 PK(t) = e −(K−1)αt (e αt − 1)K−1。细胞数期望 值 ⟨ℓ⟩ = ∑K ℓ=1 ℓPℓ(t) 可以解得为 ⟨ℓ⟩ = e +αt [ 1 − ( 1 − e −αt)K ] (1.0.17) 图 2: 细胞培养增殖。主方程解和 logistic 增长方程 N˙ = α ( 1 − N K ) N 解的比较。 2 密度矩阵 Definition. 任何密度矩阵可以写作 ρ = ∑ i pi |Φi⟩ ⟨Φi | (2.0.1) 其中 0 ≤ pi ≤ 1 表示处于态 |Φi⟩ 的概率，且 ∑ i pi = 1。一般地，构成密度矩阵的态不要求是正交的， 即 ⟨Φi | Φj ⟩ ̸= δij。为 Hilbert 空间选取基 {|i⟩}N i=1 后，密度矩阵可以表示为 ρ = ∑ N i,j=1 ρi,j |i⟩⟨j| = ρ00 ρ01 · · · ρ0N ρ10 ρ11 · · · ρ1N . . . . . . . . . . . . ρN0 ρN1 · · · ρNN (2.0.2) 其对角元素称为布居（population），非对角元称为相干（coherence）。形式上，密度矩阵需要满足以下 性质： 自伴随： ρ † = ρ 归一化： Tr{ρ} = 1 正定性： 对所有矢量 Ψ，有 ⟨Ψ|ρ|Ψ⟩ ≥ 0 Gleason 定理保证了满足以上条件的矩阵必是一个正确的密度矩阵，它是量子系统态的最一般形式
2密度矩阵5观测量期望值对纯态《A)=(例[A|Φ)=Tr(A|亚)()=Tr(Ap)=Tr(pA)，对一般混态，类似地有(A) = Tr(Ap) = Tr <AZp更) (/=p:Tr [A) (更)(In)(nl) A|;= p(nA)(更:/ n)=(,((2.0.3)=Ep (更A|更)动力学演化vonNeumann方程p= -i[H(t), p(t)](2.0.4)或者用么正演化算符写作(2.0.5)p(t) =p,U(t)[Φ;) (更;/Ut(t), U(t) =-iH(t)U(t)注意上式意味着么正演化不是将态矢量Φ；(t)）=U(t)/更Φ）联系起来。这些态量是通过Schrodinger方程从各个各个初态|Φ）演化而来的。因此，vonNeumann方程实际上刻画的是从不同初态出发演化的系综平均。测量导致的演化对量子态亚做测量可以最一般地表示成一组测量算符【Mm的作用，其中每一个测量算符对应确定的测量结果。我们要求这些测量算符是厄米的、正定的且完备的mEm=ZmMMm=1。正交性并不是测量算符的必要性质，满足正交性的测量Mm=m)《m称为投影测量：而一般的测量算符(Mm称为POVM测量（positiveoperator-valuedmeasure）。一个问题：测量算符有多少个？测量得到结果m的概率为Pm=Tr[MMmp)Pm=([MMm|)(2.0.6)对应这个测量结果，测量完成后原先的态变为MmpMtMm/Φ)纯pp=(2.0.7)Tr [Mt. MmP)(MMm|)一个问题：如果只是对态进行力学量测量，不指定结果，新量子态是什么样子？p=MmpMmExample2.1.量子测量中，对正交态可以通过单次测量区分开（见Nielson），但是对非正交态就不行。例如想决定观测者手中的态是以下中的哪一个1(2.0.8)[1)=[0)或[32=(10) +[1)= +),用投影测量（[M}=[Po,Pi}，其中P,=[i)(il,i=0,1）是不行的。但可以用POVM(2.0.9)Ei = αl1)1 I,E2 = αl-)(-1, E3 = I - Ei - E2测量结果(1) =([E/)=0, (12)=(E2) =-2(2[)=《[E2)= (22)=(2[E22)=0(2.0.10)(3/2) = (2|E/ 2) =1-(3[) =《[Es)=-号
2 密度矩阵 5 观测量期望值 对纯态 ⟨A⟩ = ⟨Ψ|A|Ψ⟩ = Tr{A|Ψ⟩⟨Ψ|} ≡ Tr{Aρ} = Tr{ρA}，对一般混态，类似地有 ⟨A⟩ ≡ Tr{Aρ} = Tr { A ∑ i pi |Φi⟩ ⟨Φi | } = ∑ i pi Tr {A |Φi⟩ ⟨Φi |} = ∑ i pi ∑ n ⟨n|A|Φi⟩ ⟨Φi | n⟩ = ∑ i pi ⟨ Φi (∑ n |n⟩⟨n| ) A Φi ⟩ = ∑ i pi ⟨Φi |A|Φi⟩ (2.0.3) 动力学演化 von Neumann 方程 ρ˙ = −i[H(t), ρ(t)] (2.0.4) 或者用幺正演化算符写作 ρ(t) = ∑ i piU(t)|Φi⟩ ⟨Φi |U † (t), U˙ (t) = −iH(t)U(t) (2.0.5) 注意上式意味着幺正演化不是将态矢量 |Φi(t)⟩ = U(t)|Φi⟩ 联系起来。这些态矢量是通过 Schrödinger 方程从各个各个初态 |Φi⟩ 演化而来的。因此，von Neumann 方程实际上刻画的是从不同初态出发演化 的系综平均。 测量导致的演化 对量子态 |Ψ⟩ 做测量可以最一般地表示成一组测量算符 {Mm} 的作用，其中每一个测量算 符对应确定的测量结果。我们要求这些测量算符是厄米的、正定的且完备的 ∑ m Em = ∑ m M† mMm = 1。正交性并不是测量算符的必要性质，满足正交性的测量 Mm = |m⟩⟨m| 称为投影测量；而一般的测 量算符 {Mm} 称为 POVM 测量（positive operator-valued measure）。 一个问题：测量算符有多少个？ 测量得到结果 m 的概率为 Pm = Tr { M† mMmρ } 纯态 ===⇒ Pm = ⟨ Ψ M† mMm Ψ ⟩ (2.0.6) 对应这个测量结果，测量完成后原先的态变为 ρ m→ ρ ′ = MmρM† m Tr { M† mMmρ } 纯态 ===⇒ |Ψ⟩ m→ Mm|Ψ⟩ √⟨ Ψ M† mMm Ψ ⟩ (2.0.7) 一个问题：如果只是对态进行力学量测量，不指定结果，新量子态是什么样子？ρˆ ′ = ∑ m MˆmρˆMˆm Example 2.1. 量子测量中，对正交态可以通过单次测量区分开（见 Nielson），但是对非正交态就 不行。例如想决定观测者手中的态是以下中的哪一个 |ψ1⟩ = |0⟩ 或 |ψ2⟩ = 1 √ 2 (|0⟩ + |1⟩) ≡ |+⟩. (2.0.8) 用投影测量（{Mk} = {P0, P1} , 其中Pi = |i⟩⟨i|, i = 0, 1）是不行的。但可以用 POVM E1 = α|1⟩1 |, E2 = α|−⟩⟨−|, E3 = I − E1 − E2. (2.0.9) 测量结果 p (1 | ψ1) = ⟨ψ1 |E1| ψ1⟩ = 0, p (1 | ψ2) = ⟨ψ2 |E1| ψ2⟩ = α 2 , p (2 | ψ1) = ⟨ψ1 |E2| ψ1⟩ = α 2 , p (2 | ψ2) = ⟨ψ2 |E2| ψ2⟩ = 0 p (3 | ψ1) = ⟨ψ1 |E3| ψ1⟩ = 1 − α 2 , p (3 | ψ2) = ⟨ψ2 |E3| ψ2⟩ = 1 − α 2 . (2.0.10)