$2.3.1正态分布 如果一个随机变量x具有概率密度函数 1 -0<x<+o, (2.3.3) 其中-0<4<+0,a2>0,则称X为一正态随机变量，记为X~N(4,2).以(23.3)为 密度的分布称为参数为和2的正态分布。 具有参数4=0，a=1的正态分布称为标准正态分布.用(x)和(x)表示标准正态分 布N(0,1)的分布函数和密度函数。 图2.3.3：正态分布的密度函数 0 从图(2.3.3)可以看出，正态分布的密度函数是以x=μ为对称轴的对称函数.称为 位置参数.密度函数在x=处达到最大值，在(-，四和（山，+∞）内严格单调.同时我们 看到，σ的大小决定了密度函数的陡峭程度.通常称为正态分布的形状参数. 以F()记正态分布N(4,2)的概率分布函数，则恒有F(e)=().所以任一正态 分布的概率分布函数都可通过标准正态分布的分布函数计算出来。 例2.3.1.求数k使得对于正态分布的变量有P(-ka<x<+k)=0.95. 22
§2.3.1 ©Ù XJÅCþXäkVÇݼê f(x) = 1 √ 2πσ exp − (x − µ) 2 2σ 2 , −∞ < x < +∞, (2.3.3) Ù¥−∞ < µ < +∞, σ2 > 0§K¡XÅCþ§PX ∼ N(µ, σ2 ). ±(2.3.3) Ý©Ù¡ëêµÚσ 2©Ù. äkëêµ = 0, σ = 1©Ù¡IO©Ù. ^Φ(x)Úφ(x)L«IO© ÙN(0, 1)©Ù¼êÚݼê. ã 2.3.3: ©Ùݼê −5 0 5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 x f(x) mu=−2,sigma=2 mu=1,sigma=1 mu=4,sigma=1.5 lã(2.3.3)±wÑ, ©Ùݼ괱x = µé¡¶é¡¼ê. µ¡ ëê. ݼê3x = µ?§3(−∞, µ)Ú(µ, +∞)SîüN. Ó· w, σû½ ݼêͧÝ. Ï~¡σ©Ù/Gëê. ±F(x)P©ÙN(µ, σ2 )VÇ©Ù¼ê§KðkF(x) = Φ( x−µ σ ). ¤±? ©ÙVÇ©Ù¼êÑÏLIO©Ù©Ù¼êOÑ5. ~ 2.3.1. ¦êk¦éu©ÙCþkP(µ − kσ < x < µ + kσ) = 0.95. 22
解：令F为正态分布N(山，G2)的分布函数，则有 P(μ-ka<x<μ+ka)=F(u+ka)-F(μ-ka)=()-(-)=0.95.(2.3.4) 从关系式(-k)=1-重()，我们得2()-1=0.95.所以()=0.975.查正态分布表 得k=1.96. $2.3.2指数分布 若随机变量X具有概率密度函数 e-Ar >0 网={0≤0， (2.3.5) 其中入>0为常数，则称X服从参数为入的指数分布. 指数分布的分布函数为 m-{&8 (2.3.6) 从图(2.3.5)可以看出，参数入愈大，密度函数下降得愈快. 指数分布经常用于作为各种寿命"的分布的近似.令X表示某元件的寿命.我们引 进X的失效率函数如下： A)=m,P≤X≤+Ax> 失效率表示了元件在时刻x尚能正常工作，在时刻x以后，单位时间内发生失效的概率.则 如果 h(x)=入（常数），0<x<+oo, X服从指数分布.即指数分布描述了无老化时的寿命分布. 指数分布的最重要的特点是“无记忆性”.即若X服从指数分布，则对任意的s,t> 梦 P(X>s+tX>s)=P(X>t). (2.3.7) 即寿命是无老化的.可以证明，指数分布是唯一具有性质(2.37)的连续型分布。 23
): -F©ÙN(µ, σ2 )©Ù¼ê, Kk P(µ − kσ < x < µ + kσ) = F(µ + kσ) − F(µ − kσ) = Φ(k) − Φ(−k) = 0.95. (2.3.4) l'Xª Φ(−k) = 1 − Φ(k), · 2Φ(k) − 1 = 0.95. ¤±Φ(k) = 0.975. ©ÙL, k = 1.96. §2.3.2 ê©Ù eÅCþXäkVÇݼê f(x) = ( λe−λx x > 0, 0 x ≤ 0, (2.3.5) Ù¥λ > 0~ê, K¡XÑlëêλê©Ù. ê©Ù©Ù¼ê F(x) = ( 1 − e −λx x > 0, 0 x ≤ 0. (2.3.6) lã(2.3.5)±wÑ, ëêλ, ݼêeü¯. ê©Ù²~^u«”Æ·”©ÙCq. -XL«,Æ·. ·Ú ?XǼêXe: h(x) = lim ∆x→0 P(x ≤ X ≤ x + ∆x|X > x) ∆x . ÇL« 3xÿU~ó, 3x±, ü mSu)VÇ. K XJ h(x) ≡ λ (~ê), 0 < x < +∞, XÑlê©Ù. =ê©Ù£ã ÃPzÆ·©Ù. ê©ÙA:´“ÃPÁ5”. =eXÑlê©Ù§Ké?¿s, t > 0k P(X > s + t | X > s) = P(X > t). (2.3.7) =Æ·´ÃPz. ±y², ê©Ù´äk5(2.3.7)ëY.©Ù. 23
图2.3.4：指数分布的密度函数 。 lambda-0.5 0 2 4 6 8 s2.3.3均匀分布 设a<b,如果分布F(e)具有密度函数 -{ “其它 a≤x≤b (2.3.8) 则称该分布为区间a,上的均匀分布，记作Ua,.如此定义的fc)显然是一个概率密度 函数.容易算出其相应的分布函数为 0.x≤a, F(e)={,a<x≤b 1.r>b. 在计算时因四舍五入而产生的误差可以用均匀分布来描述， $2.4多维分布 在实际应用中，经常需要对所考虑的问题用多个变量来描述.我们把多个随机变量 放在一起组成向量，称为多维随机变量或者随机向量. 24
ã 2.3.4: ê©Ùݼê 0 2 4 6 8 10 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x f(x) lambda=0.5 lambda=1 lambda=3 §2.3.3 þ!©Ù a < b§XJ©ÙF(x)äkݼê f(x) = ( 1 b−a a ≤ x ≤ b , 0 Ù§, (2.3.8) K¡T©Ù«m[a, b]þþ!©Ù,PU[a, b]. Xd½Âf(x)w,´VÇÝ ¼ê. N´ÑÙA©Ù¼ê F(x) = 0, x ≤ a, x−a b−a , a < x ≤ b, 1, x > b. 3OÏoÊ\ )Ø ±^þ!©Ù5£ã. §2.4 õ©Ù 3¢SA^¥§²~Ié¤Ä¯K^õCþ5£ã. ·rõÅCþ 3å|¤þ§¡õÅCþ½öÅþ. 24
例24.1.从一付扑克牌中抽牌时，可以用纸牌的花色和数字来说明其特征 例2.4.2.考虑一个打靶的试验.在靶面上取定一个直角坐标系.则命中的位置可由其坐 标(X,Y)来刻划.X,Y都是随机变量 定义24.1.设X=(X1,Xn).如果每个X都是一个随机变量，i=1,.,m,则 称X为n维随机变量或者随机向量 我们可以按照对常用一维随机变量的分类把常用的随机向量分为离散型和连续型 的 定义2.4.2.如果每一个X都是一个离散型随机变量，i=1,n,则称X=(X1,Xn)为 一n维离散随机变量.设X的所有可能取值为{1，a2,.,i=1,n,则称 p(it:.n)=P(X1=a.Xn=anin),jt.in =1.2. (24.1) 为维随机变量X的概率函数， 容易证明概率函数具有下列性质： ()p(i,.,jn)≥0，i=1,2,.,i=1,2,m (②）∑pi,jm)=1. 我们具体来看一下二维离散分布.设二维离散型随机变量(X,Y)的所有可能取值 为{c,):i=1,n,j=1,2,m小.我们经常以列联表的形式来表示二维离散型随 机变量的概率分布.记 P%=PX=,Y=,i=1,n,j=1,m. 则(X,Y)的概率函数可以下表表示 1 2 In 行和 P1121 Pnl p.1 p22 Pn2 P.2 m Pim P2m Pnm P.m 列和 Pr. 1
~ 2.4.1. lGÀý¥Äý, ±^ýsÚÚêi5`²ÙA. ~ 2.4.2. ÄqÁ. 3q¡þ½IX. K·¥ dÙ I(X, Y )5y. X,Y Ñ´ÅCþ. ½Â 2.4.1. X = (X1, . . . , Xn). XJzXiÑ´ÅCþ§i = 1, · · · , n§K ¡XnÅCþ½öÅþ. ·±Uìé~^ÅCþ©ar~^Åþ©lÑ.ÚëY. . ½Â 2.4.2. XJzXiÑ´lÑ.ÅCþ§i = 1, ., n§K¡X = (X1, . . . , Xn) nlÑÅCþ. Xi¤kU{ai1, ai2, · · · }, i = 1, . . . , n, K¡ p(j1, · · · , jn) = P(X1 = a1j1 , . . . , Xn = anjn ), j1, ., jn = 1, 2, . (2.4.1) nÅCþXVǼê. N´y²VǼêäke5: (1) p(j1, . . . , jn) ≥ 0, ji = 1, 2, · · · , i = 1, 2, . . . , n; (2) P j1,··· ,jn p(j1, . . . , jn) = 1. ·äN5welÑ©Ù. lÑ.ÅCþ(X, Y )¤kU {(xi , yj ) : i = 1, ., n, j = 1, 2, ., m}. ·²~±éL/ª5L«lÑ. ÅCþVÇ©Ù. P pij = P(X = xi , Y = yj ), i = 1, ., n, j = 1, ., m. K(X, Y )VǼê±eLL«: ❍ Y ❍❍❍❍❍❍ X x1 x2 · · · xn 1Ú y1 p11 p21 · · · pn1 p·1 y2 p12 p22 · · · pn2 p·2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ym p1m p2m . . . pnm p·m Ú p1· p2· · · · pn· 1 25
例243.从一个包含五个黑球，六个白球和七个红球的罐子里抽取四个球，令X是抽到 白球的数目，Y是抽到红球的数目，则二维随机变量(X,Y)的概率函数为 e,=99L ,0≤x+y≤4 (2.4.2) ( 以列联表表示，即为 1234行和 0 品奇品品动品 品 列和 器贵奇动1 类似于一维连续型随机变量，连续型随机向量的也是由密度函数来刻画的 定义2.4.3.称X=(X1,X)为n维连续型随机变量，如果存在R"上的非负函数f(1, ,工n),使得对任意的-o<a1≤b1<+o,-0<an≤bn<+o0,有 fnd.n （2.4.3) 则称f为X的概率密度函数 对n维随机变量我们也有分布函数的概念 定义2.4.4.设X=(X1,Xn)为n维随机变量.对任意的(1，n)∈Rm,称 F(r1,xn)=P(X≤x1,Xnm≤xn) (2.4.4) 为n维随机变量X的（联合）分布函数 可以验证分布函数F(x1,n)具有下述性质： (1)F(1,.,xn)对每个变元单调非降： (②对任意的1≤j≤n有，mFe.)=0 26
~ 2.4.3. l¹Êç¥, 8x¥ÚÔù¥-fpÄo¥. -X´Ä x¥ê8, Y ´Äù¥ê8. KÅCþ(X, Y )VǼê p(x, y) = 6 x 7 y 5 4−x−y 18 4 , 0 ≤ x + y ≤ 4. (2.4.2) ±éLL«, = ❍ Y ❍❍❍❍❍❍ X 0 1 2 3 4 1Ú 0 1 612 1 51 5 102 5 153 1 204 11 102 1 7 306 7 51 35 204 7 153 77 204 2 7 102 7 34 7 68 7 17 3 35 612 7 102 77 612 4 7 612 7 612 Ú 99 612 22 51 11 34 4 51 1 204 1 aquëY.ÅCþ, ëY.Åþ´dݼê5x. ½Â 2.4.3. ¡X = (X1, . . . , Xn)nëY.ÅCþ§XJ3R nþK¼êf(x1, . . ., xn)§¦é?¿−∞ < a1 ≤ b1 < +∞, ., −∞ < an ≤ bn < +∞, k P(a1 ≤ X1 ≤ b1, ., an ≤ Xn ≤ bn) = ˆ bn an . ˆ b1 a1 f(x1, . . . , xn)dx1 · · · dxn, (2.4.3) K¡fXVÇݼê. énÅCþ·k©Ù¼êVg. ½Â 2.4.4. X = (X1, . . . , Xn)nÅCþ. é?¿(x1, . . . , xn) ∈ R n§¡ F(x1, . . . , xn) = P(X1 ≤ x1, . . . , Xn ≤ xn) (2.4.4) nÅCþX(éÜ)©Ù¼ê. ±y©Ù¼êF(x1, . . . , xn)äkeã5: (1) F(x1, · · · , xn)ézCüNü; (2) é?¿1 ≤ j ≤ nk§ lim xj→−∞ F(x1, · · · , xn) = 0; 26