解：令A,={第个人命中目标，D={至少有一人命中目标，则 D Ai. P(D)=1-P(D)=1-P(A1A2.An) =1-(1-pm)1-p2).(1-pm) ≈1-exp{-} 上面约等号在p较小时成立.例如pm:=0.04,n=100时，P(D)≈1-exp{-4= 0.98168 12
): -Ai ={1i<·¥8I}, D ={k<·¥8I}, K D = [n i=1 Ai , P(D) = 1 − P(D¯) = 1 − P(A¯ 1A¯ 2 · · · A¯ n) = 1 − (1 − p1)(1 − p2)· · ·(1 − pn) ≈ 1 − exp{−Σpi} þ¡ Ò3pi¤á. ~Xpi = 0.04, n = 100 , P(D) ≈ 1 − exp{−4} = 0.98168 12
第二章随机变量及其分布 教学目的： 1)掌握随机变量的概念。掌握离散型随机变量的概率函数，连续型随机变量的概率密 度，及任意的随机变量的分布函数的概念。 2)掌握二项分布、Poisson分布，以及相应的概率计算. 3)掌握正态分布，指数分布和均匀分布，会进行相应的概率计算. 4)掌握多维随机变量的概念。了解维随机变量的联合分布函数的概念和性质. 5)掌握二维离散型和连续型随机变量的边缘分布与联合分布之间的关系，会用这些关 系式求边缘分布. 52.1随机变量的概念 随机变量是其值随机会而定的变量。 例211.以X表示掷一次般子得到的点数，X是一个随机变量.它可以取1,2,3,4,5,6}中 的一个值，但到底取那个值，要等掷了骰子才知道 例21.2.一张奖券的中奖金颜是一个随机变量.它的值要等开奖以后才知道 例21.3.在一批产品中随机地抽出100个产品，其中所含的废品数是一个随机变量.它 的值要等检查了所有抽出的产品后才知道， 在另外的例子中，随机试验的结果虽然不是一个数，但仍可用数来描述 例214.掷一枚硬币出现正面或反面 例2.1.5.产品被分为正品或废品 上面两例中的结果均可用一个取值0,1的随机变量来描述，其中可以1代表正面或正 品，以0代表反面或废品. 事实上，对任意一个事件A,定义 1 WEA, Ia={0反之， 13
1Ù ÅCþ9Ù©Ù Æ8: 1) ݺÅCþVg"ݺlÑ.ÅCþVǼê, ëY.ÅCþVÇ Ý, 9?¿ÅCþ©Ù¼êVg. 2) ݺ©Ù!Poisson©Ù§±9AVÇO. 3) ݺ©Ù§ê©ÙÚþ!©Ù§¬?1AVÇO. 4) ݺõÅCþVg" )nÅCþéÜ©Ù¼êVgÚ5. 5) ݺlÑ.ÚëY.ÅCþ>©ÙéÜ©Ùm'X§¬^ù ' Xª¦>©Ù. §2.1 ÅCþVg ÅCþ´ÙŬ ½Cþ" ~ 2.1.1. ±XL«gf:ê, X´ÅCþ. §±{1, 2, 3, 4, 5, 6}¥ §.@§ fâ. ~ 2.1.2. Üø ¥ø7´ÅCþ. § mø±â. ~ 2.1.3. 31¬¥Å/ÄÑ100¬, Ù¥¤¹¢¬ê´ÅCþ. § u ¤kÄѬâ. 3, ~f¥, ÅÁ(J,Ø´ê, E^ê5£ã. ~ 2.1.4. qM1Ñy¡½¡. ~ 2.1.5. ¬©¬½¢¬. þ¡ü~¥(Jþ^0,1ÅCþ5£ã, Ù¥±1L¡½ ¬, ±0L¡½¢¬. ¯¢þ, é?¿¯A, ½Â IA(ω) = ( 1 ω ∈ A , 0 , 13
则事件A由随机变量IA表示出来.IA称为事件A的示性函数 随机变量是把随机试验的结果，也就是样本空间，与一组实数联系起来.这样的处 理简化了原来的概率结构.例如某机构调查民众对一提案的态度是支持(1)还是反对(0) 如果随机访问50人，按照古典概型，所有可能的结果有20个.但是如果我们用x记1的个 数来表示赞成者的人数，则X为一个随机变量.它的取值范围只在{0,1，·，50以.所以随 机变量的引进有利于我们对所研究的问题进行准确，简练的描述.又由于随机变量取实 值，随机变量之间的运算就变得容易了. 对于随机变量的研究，是概率论的中心内容.因为对于一个随机试验，我们关心的 通常是与所研究的问题有关的某个量或某些量.而这些量就是随机变量。 定义211.令为一个样本空间.令X是定义在上的一个实函数，则称X为一个（一维）随 机变量 常见的随机变量可以分为两大类.只取有限个或可数个值的随机变量称为离散型 随机变量：取连续的值且密度存在的随机变量称为连续型随机变量.当然，存在既非离 散型也非连续型的随机变量.但它们在实际中并不常见，也不是我们这里研究的对象。 s2.2离散型随机变量 定义221.设X为一随机变量.如采X只取有限个或可数个值，则称X为一个（一维）离 散型随机变量。 由于一个随机变量的值是由试验结果决定的，因而是以一定的概率取值.这个概率 分布称为离散型随机变量的概率函数 定义2.2.2.设X为一离散型随机变量，其全部可能值为{a1,2,}.则 p=PX=a,i=1,2,. (2.2.1) 称为X的概率函数 概率函数{，i=1,2,}必须满足下列条件： %20,i=1,2, 14
K¯AdÅCþIAL«Ñ5. IA¡¯A«5¼ê. ÅCþ´rÅÁ(J§Ò´ m§|¢êéXå5. ù? n{z 5VÇ(. ~X,ÅN¬¯éJYÝ´|±(1)´é(0). XJů50<§Uì;V.§¤kU(Jk2 50. ´XJ·^XP1 ê5L«7¤ö<ê§KXÅCþ. §3{0, 1, · · · , 50}. ¤± ÅCþÚ?k|u·é¤ïįK?1O(, {ö£ã. qduÅCþ¢ , ÅCþm$ÒCN´ . éuÅCþïħ´VÇØ¥%SN. ÏéuÅÁ§·'% Ï~´¤ïįKk',þ½, þ. ù þÒ´ÅCþ. ½Â 2.1.1. -Ω m. -X´½Â3Ωþ¢¼ê, K¡X() ÅCþ. ~ÅCþ±©üa. k½êÅCþ¡lÑ. ÅCþ¶ëY Ý3ÅCþ¡ëY.ÅCþ. , 3Ql Ñ.ëY.ÅCþ. §3¢S¥¿Ø~, Ø´·ùpïÄé. §2.2 lÑ.ÅCþ ½Â 2.2.1. XÅCþ. XJXk½ê§K¡X()l Ñ.ÅCþ. duÅCþ´dÁ(Jû½§Ï ´±½VÇ. ùVÇ ©Ù¡lÑ.ÅCþVǼê. ½Â 2.2.2. XlÑ.ÅCþ§Ù ÜU{a1, a2, .}. K pi = P(X = ai), i = 1, 2, . (2.2.1) ¡XVǼê. VǼê{pi , i = 1, 2, .}7L÷ve^µ pi ≥ 0, i = 1, 2, . 14
∑h=1 概率函数(2.2.1)指出了全部概率1是如何在X的所有可能值之间分配的.它可以列 表的形式给出： 可能值a1a2.a4. (2.2.2) 概率p12.p. 有时也把(2.2.2)称为随机变量X的分布表. 设0为一样本空间。X为定义于其上的一个离散型随机变量，其取值为1,2，.令A 为{1,2，)的任意一个子集.事件{X取值于A中)的概率可根据概率的可加性来计算： P(A)=>P(X =x). 这样知道了离散型随机变量X的概率函数，我们就能给出关于x的任何概率问题的回答 下面我们给出常见的离散型分布.在描述离散概率模型时，Bernoullii试验是最早被 研究且应用及其广泛的概率模型. 定义2.2.3.设一个随机试验只有两个可能结果A和A,则称此试验为一Bernoullii试验. 定义2.2.4.设将一个可能结果为A和A的Bernoullii试验独立地重复n次，使得事件A每次 出现的概率相同，则称此试验为n重Bernoull试验。 下面的0-1分布和二项分布都是以Bernoullii试验为基础的 52.2.10-1分布 设随机变量x只取0,1两值，P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,则称x服从0-1分布 或Bernoulli分布.01分布是很多古典概率模型的基础. S2.2.2二项分布 设某事件A在一次试验中发生的概率为p.现把试验独立地重复n次.以x记A在这n次试 验中发生的次数，则x取值0,1，n,且有 Px==(1-pjn-k,k=01,.,n (2.2.3) 称X服从二项分布，记为X~B(m,) 15
X i pi = 1. VǼê(2.2.1) Ñ ÜVÇ1´XÛ3X¤kUm©. §± L/ªÑµ U a1 a2 . ai . VÇ p1 p2 . pi . (2.2.2) kr(2.2.2)¡ÅCþX©ÙL. Ω m. X½ÂuÙþlÑ.ÅCþ§Ùx1, x2, . -A {x1, x2, .}?¿f8. ¯{XuA¥}VÇâVÇ\55Oµ P(A) = X x∈A P(X = x). ù lÑ.ÅCþXVǼ꧷ÒUÑ'uX?ÛVǯK£. e¡·Ñ~lÑ.©Ù. 3£ãlÑVÇ ., BernoulliÁ´@ ïÄ A^9Ù2VÇ . ½Â 2.2.3. ÅÁküU(JAÚA¯, K¡dÁBernoulliÁ. ½Â 2.2.4. òU(JAÚA¯BernoulliÁÕá/Eng, ¦¯Azg ÑyVÇÓ, K¡dÁnBernoulliÁ. e¡0-1©ÙÚ©ÙÑ´±BernoulliÁÄ:. §2.2.1 0-1©Ù ÅCþX0,1ü§P(X = 1) = p§P(X = 0) = 1 − p§K¡XÑl0-1©Ù ½Bernoulli©Ù. 0-1©Ù´éõ;VÇ .Ä:. §2.2.2 ©Ù ,¯A3gÁ¥u)VÇp. yrÁÕá/Eng. ±XPA3ùngÁ ¥u)gê§KX0, 1, ., n§ k P(X = k) = n k p k (1 − p) n−k , k = 0, 1, · · · , n. (2.2.3) ¡XÑl©Ù§PX ∼ B(n, p). 15
从 因I-=+1-r= 我们知道(2.2.3)确实是一个概率函数。 为了考察这个分布是如何产生的，考虑事件{X=认.要使这个事件发生，必须在 这n次试验的原始记录 AAAA.AAA 中，有个A,n-i个A,每个A有概率而每个A有概率1-p.又由于每次试验独立，所以 每次出现4与否与其它次试验的结果独立.因此由概率乘法定理得出每个这样的原始结 果序列发生的概率为p(1一p)n-.但是个A和n-个A的排列总数是()，所以有个A的 概率是： (（③）p0-pm-t,i=0,1.n 一个变量服从二项分布有两个条件：一是各次试验的条件是稳定的，这保证了事 件A的概率在各次试验中保持不变：二是各次试验的独立性.现实生活中有许多现象 不同程度地满足这些条件.例如工厂每天生产的产品.假设每日生产个产品.若原材料 质量，机器设备，工人操作水平等在一段时间内保持稳定，且每件产品是否合格与其它 产品合格与否并无显著性关联，则每日的废品数服从二项分布. S2.2.3 Poisson分布 设随机变量X的概率分布为 PX=-若e-k=012,A>0 (2.2.40 则称x服从参数为A的Poisson分布，并记X~P(. 由于e入有级数展开式 心=1+A+贺+++n 所以 PX=)=1. k=0 穆德和格雷比尔著的《统计学导论》给出了Poisson分布的如下推导 假定体积为V的液体包含有一个大数目N的微生物.再假定微生物没有群居的本能。 它们能够在液体的任何部分出现，且在体积相等的部分出现的机会相同.现在我们取体 16
l Xn i=1 n k p k (1 − p) n−k = (p + 1 − p) n = 1, ·(2.2.3) (¢´VǼê. ù©Ù´XÛ)§Ä¯{X = i}. ¦ù¯u)§7L3 ùngÁ©P¹ AAAA. ¯ AA¯ A¯ ¥§kiA, n − iA¯, zAkVÇp zA¯ kVÇ1 − p. qduzgÁÕ᧤± zgÑyAÄÙ§gÁ(JÕá. ÏddVǦ{½nÑzù©( JSu)VÇp i (1 − p) n−i . ´iAÚn − iA¯üoê´ n k §¤±kiA VÇ´µ n i p i (1 − p) n−i , i = 0, 1, · · · , n. CþÑl©Ùkü^µ´gÁ^´½§ùy ¯ AVÇp3gÁ¥±ØC¶´gÁÕá5. y¢)¹¥kNõy ØÓ§Ý/÷vù ^. ~XózU)¬. bzF)n¬. eá þ§Åì§ó<öY² 3ãmS±½§ z¬´ÄÜÙ§ ¬ÜÄ¿ÃwÍ5'é§KzF¢¬êÑl©Ù. §2.2.3 Poisson©Ù ÅCþXVÇ©Ù P(X = k) = λ k k! e −λ , k = 0, 1, 2, · · · , λ > 0, (2.2.4) K¡XÑlëêλPoisson©Ù§¿PX ∼ P(λ). du e λ k?êÐmª e λ = 1 + λ + λ 2 2! + . + λ k k! + . ¤± X∞ k=0 P(X = k) = 1. ;ÚX'Í5ÚOÆØ6Ñ Poisson©ÙXeí. b½NÈV N¹kê8N)Ô. 2b½)Ôvk+Ø U, §U 3N?ÛÜ©Ñy§ 3NÈ Ü©ÑyŬÓ. y3·N 16