自例1:求微分方程=卫+tmny的通解 dx x 解:令y_m少d 十L d x 代入原方程xx+=+tanu→x=tanu d x 分离变量 coteau d(sin u) sInl 两边积分mn(sinu)=lnx+lnc→sinu=cx 目将n=代回,得通解|sin=cx 例2求微分方程=2(+2满足川=2=0的特解 解:令=l则=x,+u dx du 代入原方程x+u=2√l+u→x=2、a d 分离变量 2√lx 自两边积分m=mx+lne→e=cx 将u=代回,得通解cx=e 目将y2=0代入通解,得c=,:所求特解x=2e 6
6 例1： tan dy y y dx x x 求微分方程 的通解 = + u x y 令 = u dx du x dx dy 则 = + 代入原方程 tan du x uu u dx +=+ tan du x u dx ⇒ = 分离变量 cot dx udu x = x dx u d u ⇒ = sin (sin ) 两边积分 ln(sin u) = ln x + lnc ⇒ sin u cx = 将 代回，得通解 x y u = sin y cx x = 解： 例2： 2 2 0 x dy y y y dx x x = 求微分方程 满足 的特解 =+ = 代入原方程 u x y 令 = u dx du x dx dy 则 = + 2 du x u uu dx + = + 2 du x u dx ⇒ = 分离变量 x dx u du = 2 两边积分 u = ln x + lnc u ⇒ e cx = 将 代回，得通解 x y u = y x cx e = 2 0 1 2 x y c = 将 代入通解， = 得 = 2 y x ∴所求特解 x e = 解：
三、一阶线性徽分方程 形如y+P(x)y=Q(x方程称为一阶线性微分方程 图若Q(x)=0,则y+P(x)y=0 称为一阶线性齐次微分方程 若Qx)≠0,则+P(x)y=Q 称为一阶线性非齐次微分方程 一阶线性非齐次徽分方程的通解公式 +P(x)y=o(r) y=e P(a)e(x) P(a)ldd+cl
7 三、一阶线性微分方程 形如 的方 y Pxy Qx ′ + () () = 程称为一阶线性微分方程 若 ，则 Q x() 0 ≡ y Pxy ′ + () 0 = 称为一阶线性齐次微分方程 若 ，则 Q x( ) ≠ 0 y Pxy Qx ′ + () ( = ) 称为一阶线性非齐次微分方程 () () [ ] ( ) P x dx P x dx y e e dx Q x c −∫ ∫ = + ∫ 一阶线性非齐次微分方程的通解公式 y y ′ + = Px Qx ( ) ( )