浙江大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（电子讲义，第三版）第十讲 二维连续型随机变量

第十讲二维连续型随机变量 重点:分布密度和分布函数的性质 难点:边缘分布和分布函数的求解 二维连续型随机变量的概念 1.定义:设F(xy)是二维随机变量(x,1)的联合分布函数,如果存在非负可积函数fxy),使 得对于任意实数xy有F(x,y)=[f(h则称(x1是二维连续型随机变量,称/xy)为 (X,珍的联合概率密度或密度函数。 2概率密度xy)的性质 (1)f(x,y)≥0 (非负性) (2)/(x,y)db=1(归一性) (3)设AcR2,则P(x,)∈A=f(x,yh (4)若f(x,y)在点(x,y)连续,则 a- F(,y) f(x, y) 例1.设G是xo平面上一有界区域,其面积为A,若(,Y的联合密度函数为 (x,y) (x,y)∈G the 则称(x1在区域G上服从二维均匀分布,设G=xy2+y2≤R2求P2x 解:由已知f(x,y)=1zR x2+y2≤R Ply>)=S dr TR 例2.设(H,P)的密度函数为 f(x,y) ∫K(6-x-y)0<x<22<y<4 others 求:(1)常数K

第十讲 二维连续型随机变量 重点：分布密度和分布函数的性质 难点：边缘分布和分布函数的求解 一、二维连续型随机变量的概念 1.定义：设 F(x,y)是二维随机变量（X,Y）的联合分布函数，如果存在非负可积函数 f(x,y)，使 得对于任意实数 x,y 有 − − = x y F(x, y) f (u,v)dudv 则称（X,Y）是二维连续型随机变量，称 f(x,y)为 （X,Y）的联合概率密度或密度函数。 2.概率密度 f(x,y)的性质 (1) f (x, y)  0 （非负性）   + − + − (2) f (x, y)dxdy =1 （归一性）      = A (3) A R P (X,Y) A f (x, y)dxdy 设 2，则 ( , ) ( , ) (4) ( , ) ( , ) 2 f x y x y F x y f x y x y =    若 在点 连续，则 例 1.设 G 是 xoy 平面上一有界区域，其面积为 A，若（X,Y）的联合密度函数为      = others x y G f x y A 0 ( , ) 1 ( , ) 则称（X,Y）在区域 G 上服从二维均匀分布，设   2 2 2 G = (x, y) x + y  R ，求 PY  X 。     +  = others x y R f x y R 0 1 ( , ) 2 2 2 2 解：由已知       = = 4 3 4 0 2 4 1 1     R rdr R P Y X d 例 2.设（X,Y）的密度函数为    − −     = others K x y x y f x y 0 (6 ) 0 2, 2 4 ( , ) 求：（1） 常数 K

2)若D={x,y)x<1y<3}E= <3}求P(x,Y)∈D}P(x,)∈E 解:(1)由归一性 r( y)drdy=l ar[ K(6-x-y)dy k(6 2x)dx=8K→K PKx)∈D)=(xy)d=(6-x 8 Px∈}=/(xy)b=6—x-y 二、二维连续型随机变量的边缘分布 设fxy)为二维连续型随机变量(x,的密度函数,由边缘分布函数定义 Fx(x)=F(x,+∞) f(t, y)dy 由密度函数定义,可知(X,1关于X边缘密度函数为f()=(xy)b 同理,(,关于Y的边缘密度函数为/(y)=f(x,y) 例3.设(X,P)的密度函数为 Ke 0,y>0 f(x, y) oth 求(1)K;(2)联合分布函数F(xy):(3)X的边缘密度函数fxy):(4)P0<K1,0<K2} 解:(1)(略)A=12 (2)当x≤0或y≤0时,fxy)=0,故F(xy)=0, 当x>0且y>0时 F(x,y)=[(nth=d12--h=1234-h=(-c)1-e) 所以 (3)(x)=。(xy=12exbx>0=3e-3x>0 ≤0 (4)P0<X<10<y<2}=F(1,2)-F(02)-F(10)+F(00=(1-e)1-e3) 例4.已知(X,1的联合密度函数为

(2) 若D = (x, y) x 1, y  3，E = (x, y) x + y  3 求P(X,Y)D，P(X,Y)E 解：（1）由归一性 1=     + − + − = − − 2 0 4 2 f (x, y)dxdy dx K(6 x y)dy =  − =  = 2 0 8 1 K (6 2x)dx 8K K       = = − − = D P X Y D f x y dxdy dx x y dydx 8 3 (6 ) 8 1 (2) ( , ) ( , ) 1 0 3 2   24 5 (6 ) 8 1 ( , ) ( , ) 3 2 1 0  = = − − =    −x E P X Y E f x y dxdy dx x y dy 二、二维连续型随机变量的边缘分布 设 f(x,y)为二维连续型随机变量（X,Y）的密度函数，由边缘分布函数定义 F x F x f u v dudv f t y dy dt x x X   −  + − − + −     ( ) = ( ,+) = ( , ) = ( , ) 由密度函数定义，可知（X,Y）关于 X 边缘密度函数为  + − f x = f x y dy X ( ) ( , ) 。 同理，（X,Y）关于 Y 的边缘密度函数为  + − f y = f x y dx Y ( ) ( , ) 。 例 3.设（X,Y）的密度函数为      = − + others Ke x y f x y x y 0 0, 0 ( , ) (3 4 ) 求（1）K；（2）联合分布函数 F(x,y)；（3） X 的边缘密度函数 f(x,y)；（4）P{0<X<1,0<Y<2} 解：（1）（略）K=12 （2）当 x≤0 或 y≤0 时，f(x,y)=0，故 F(x,y)=0， 当 x>0 且 y>0 时 ( , ) ( , ) 12 12 3 4 (1 )(1 ) 3 4 0 0 3 4 0 0 3 4 x y x y u v x y u v x y F x y f u v dudv du e dv e du e dv e e − − − − − − − − = = = = − −          − −   = − − others e e x y F x y x y 0 (1 3 )(1 ) 0, 0 ( , ) 3 4 所以      =       = = + − − − + −   0 3 0 0 0 12 (3) ( ) ( , ) 3 0 3 4 x e x x e dy x o f x f x y dy x x y X (4) 0 1, 0 2 (1,2) (0,2) (1,0) (0,0) (1 )(1 ) −3 −8 P  X   Y  = F − F − F + F = − e − e 例 4.已知（X,Y）的联合密度函数为

f∫(x,y)= ∫x2+Axy0<x<10<y< 0 求(1)常数A;(2)x,的边缘密度函数f(x),6(y) 解:略0)4=1(2)f()12+3x03x51()=3+605y52 例5设(X,1的密度函数为 2 O,o 其中,μ,丛,σ,σ2均为常数,且σ>0,σ2>0,<1,则称(X,D服从参数为A,2 σ,σ2,P的二维正态分布,记作(x,1~N(A,21,2P)。求其边缘密度函数。 解:X~N(1,o12);Y~N(x2,2)。(只需知道结论) 注:由上题可看出f(x),f(y)与P无任何关系,即对于不同的p,可求出相同的边缘密度。 因此可知,联合密度决定了边缘密度,但知道边缘密度却不能决定(XD的联合密度。 三、连续型随机变量的独立性 对于二维随机变量(x,1),x,独立等价于F(xy)=F(x)F(y),F(xy)若(x,)为连续型随机 变量,求导即得fx,y)=f(x)/0) 定义1.若二维连续型随机变量(x,)的联合密度和边缘密度满足∫xy)=∫(x)∫(ν),则称 与F相互独立。 定义2.设(Ⅺ1,Y,…H)是n维连续型随机变量,若其联合密度函数x1x2xn)与边缘密度函数 fx1(x1),…,J,(xn) 满足 f(x1,x2…,xn)=fx2(x1)x2(x2)…fx(xn) 则称X1,羟2,Xn相互独立。 例6.一负责人到达办公室的时间均匀分布在8~12时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在 7~9时,设他们两人到达的时间是相互独立的,求他们到达办公室时间差不超过12小时的概率。 解:用XY分别表示负责人和他的秘书到达办公室的时间,则X,Y的密度函数分别为 fx(x)={4 8<x<12 f(y)=7<y<9 0 others 0 others 由于X,F独立,可知(X,的概率密度为

   +     = others x Axy x y f x y 0 0 1, 0 2 ( , ) 2 求（1）常数 A；（2）X,Y 的边缘密度函数 fX(x) ，fY(y) 3 1 解：略 (1) A =     +   =     +   = others y y f y others x x x f x X Y 0 0 2 3 6 1 ( ) 0 0 1 3 2 2 (2) ( ) 2 ， 例 5.设（X,Y）的密度函数为         − + − − − − − − − = 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 ( )( ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 1 2 1 2 2 1 1 ( , )               x x x y f x y e 其中， 1， 2， 1， 2 均为常数，且 1  0， 2  0，  1 ，则称（X,Y）服从参数为 1， 2，  1， 2 ，  的二维正态分布，记作（X,Y）~ ( , ; , ; ) 2 2 2 N 1  2  1   。求其边缘密度函数。 解： ~ ( , ) 2 X N 1  1 ； ~ ( , ) 2 Y N  2  2 。（只需知道结论） 注：由上题可看出 fX(x) ，fY(y)与ρ无任何关系，即对于不同的ρ，可求出相同的边缘密度。 因此可知，联合密度决定了边缘密度，但知道边缘密度却不能决定（X,Y）的联合密度。 三、连续型随机变量的独立性 对于二维随机变量（X,Y）， X,Y 独立等价于 F(x,y)=FX(x)FY(y)，F(x,y)若（X,Y）为连续型随机 变量，求导即得 f(x,y)= fX(x) fY(y)。 定义 1. 若二维连续型随机变量（X,Y）的联合密度和边缘密度满足 f(x,y)= fX(x) fY(y)，则称 X 与 Y 相互独立。 定义 2. 设(X1,X2,…,Xn)是 n 维连续型随机变量，若其联合密度函数 f(x1,x2,…,xn)与边缘密度函数 ( ), , ( ) X1 1 X n f x f x  n 满足 ( , , , ) ( ) ( ) ( ) 1 2 n X1 1 X2 2 X n f x x x f x f x f x   n = 则称 X1,X2,…,Xn 相互独立。 例 6.一负责人到达办公室的时间均匀分布在 8~12 时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在 7~9 时，设他们两人到达的时间是相互独立的，求他们到达办公室时间差不超过 1/12 小时的概率。 解：用 X,Y 分别表示负责人和他的秘书到达办公室的时间，则 X,Y 的密度函数分别为       = others x f x X 0 8 12 4 1 ( )       = others y f y Y 0 7 9 2 1 ( ) 由于 X,Y 独立，可知（X,Y）的概率密度为

f(x,y)=fx(x)(yJ1/88<x<12,7<y<9 the PX-Y≤ P ≤X-Y≤;}=f(x,y)dxd 12 6

       = = others x y f x y f x f y X Y 0 1/8 8 12, 7 9 ( , ) ( ) ( ) 6 1 8 ) 12 11 ( 2 1 ) 12 13 ( 2 1 ( , ) 12 1 12 1 12 1 2 2 =  −  = =       = −  −        −   G P X Y P X Y f x y dxdy