三拉格明日量与诺特定理 11 三拉格朗日量与诺特定理 $3.1时空对称性 运动积分：由方程个数，系统自由度为s时通解会出现2s个积分常数C1,,C2。,它们在运动过程中始 终不变，称为运动积分，也即力学体系的守恒量 正则动量：定义为拉格朗日量对广义速度的导数 爱 计算可发现 -品张-兴 循环坐标：L中不含广义坐标，只含。时，其称为循环坐标。 由拉格朗日方程即可知循环坐标对应的正则动量守恒。 能量守恒 若力学系统对时间不变，即L不显含时间，则 右侧求和每项可利用拉格朗日方程化简为是（兴），于是有 H=∑孤-l 为守恒量，此量称为哈密顿量。 *哈密顿量未必为系统能量T+V: 考虑质点组元(91，，9)，则 -∑器+% 于是动能T=乃2++T,三项为 五2=∑Ani4a,I-∑Ba9a,T6=Co a. 其中大写字母表示不含g的系数。 由于拉格朗日量为T+工+T。-V,计算可得对应哈密顿量即为 H=∑00+n+D。-L=2四+)-L=四-+v 00a 与能量T+V并不完全相同，因此H也称为广义能量 *当约束均为定常约束时，需=0，于是五=T=0,此时H即为能量。 动量守恒 在等时变分条件下有 L=∑影饰+∑ 类似上方可将其化成 -∑(0)
三 拉格朗日量与诺特定理 11 三 拉格朗日量与诺特定理 §3.1 时空对称性 运动积分：由方程个数，系统自由度为 s 时通解会出现 2s 个积分常数 C1, . . . , C2s，它们在运动过程中始 终不变，称为运动积分，也即力学体系的守恒量。 正则动量：定义为拉格朗日量对广义速度的导数 pα = ∂L ∂q˙α 计算可发现 p˙α = d dt ∂L ∂q˙α = ∂L ∂qα 循环坐标：L 中不含广义坐标 qα，只含 q˙α 时，其称为循环坐标。 * 由拉格朗日方程即可知循环坐标对应的正则动量守恒。 能量守恒 若力学系统对时间不变，即 L 不显含时间，则 dL dt = X α ∂L ∂qα q˙α + X α ∂L ∂q˙α q¨α 右侧求和每项可利用拉格朗日方程化简为 d dt q˙α ∂L ∂q˙α ，于是有 H = X α q˙α ∂L ∂q˙α − L 为守恒量，此量称为哈密顿量。 * 哈密顿量未必为系统能量 T + V ： 考虑质点组 ⃗ri(q1, . . . , qs;t)，则 ˙⃗ri = X α ∂ ˙⃗ri ∂qα q˙α + ∂⃗ri ∂t 于是动能 T = T2 + T1 + T0，三项为 T2 = X α,β Aαβq˙αq˙β, T1 = X α Bαq˙α, T0 = C0 其中大写字母表示不含 q˙α 的系数。 由于拉格朗日量为 T2 + T1 + T0 − V ，计算可得对应哈密顿量即为 H = X α ∂(T1 + T1 + T0) ∂q˙α q˙α − L = (2T2 + T1) − L = (T2 − T0) + V 与能量 T + V 并不完全相同，因此 H 也称为广义能量。 * 当约束均为定常约束时，∂⃗r ∂t = 0，于是 T1 = T0 = 0，此时 H 即为能量。 动量守恒 在等时变分条件下有 δL = X α ∂L ∂q˙α δq˙α + X α ∂L ∂qα δqα 类似上方可将其化成 δL = X α d dt ∂L ∂qα q˙α
三拉格朗日量与诺特定理 而由之前已证 恶 从而 光-是-∑m器 由此合并得 L-∑m六) 若力学系统具有空间平移不变性，也即=0，当所有同时平移相同距离，即所有一致为F时 应有6L=0,于是 是∑m动r=0 由此即有动量 P=∑m, 为常数。 角动量守恒 若力学系统具有空间转动不变性，也即系统转动角度种时6L=0,由于=×元，根据 L=品∑m元 代入并利用矢量运算律即可得到（注意是心=0） 0=是∑m:(的×》=的是∑G×m动 于是角动量 J=∑行×m,) 为常数。 S3.2诺特定理 考虑映射 F:R×r→T,F,q)=g,90=q 其对每个实数将位形空间中的函数g映射到另一个函数g,若存在函数1(4，)满足 则称F为工的单参数对称变换群，或称L具有对称性F。 *此处我们记变分6A=是A,=0,左侧即可以写为L。 *最基本的情况为1=0，即是最直观的对称性，而此处1代表更一般的情况。 诺特定理：设F为L的单参数对称变换群，则对应的∑。Pg。-1守恒，此式称为守恒荷。 证明： (∑a-)-∑a+n-L
三 拉格朗日量与诺特定理 12 而由之前已证 ∂⃗ri ∂qα = ∂ ˙⃗ri ∂q˙α 从而 ∂L ∂q˙α = ∂T ∂q˙α = X i mi ˙⃗ri · ∂⃗ri ∂qα 由此合并得 δL = d dt X i (mi ˙⃗ri · δ⃗ri) 若力学系统具有空间平移不变性，也即 ∂L ∂qα = 0，当所有 ⃗r 同时平移相同距离，即所有 δ⃗ri 一致为 δ⃗r 时， 应有 δL = 0，于是 d dt X i (mi ˙⃗ri) · δ⃗r = 0 由此即有动量 P = X i mir˙i 为常数。 角动量守恒 若力学系统具有空间转动不变性，也即系统转动角度 δϕ 时 δL = 0，由于 δ⃗ri = δϕ × ⃗ri，根据 δL = d dt X i (mi ˙⃗ri · δ⃗ri) 代入并利用矢量运算律即可得到 (注意 d dt δϕ = 0) 0 = d dt X i (mi⃗ri · (δϕ × ⃗ri)) = δϕ · d dt X i (⃗ri × mi ˙⃗ri) 于是角动量 J = X i (⃗ri × mi ˙⃗ri) 为常数。 §3.2 诺特定理 考虑映射 F : R × Γ → Γ, F(ϵ, q) = qϵ, q0 = q 其对每个实数将位形空间中的函数 q 映射到另一个函数 qϵ，若存在函数 l(q, q˙) 满足 d dϵ L(qϵ(t), q˙ϵ(t)) ϵ=0 = d dt l(q(t), q˙(t)) 则称 F 为 L 的单参数对称变换群，或称 L 具有对称性 F。 * 此处我们记变分 δA = d dϵA ϵ=0，左侧即可以写为 δL。 * 最基本的情况为 l = 0，即是最直观的对称性，而此处 l 代表更一般的情况。 诺特定理：设 F 为 L 的单参数对称变换群，则对应的 P α pαδqα − l 守恒，此式称为守恒荷。 证明： d dt X α pαδqα − l = X α ( ˙pαδqα + pαδq˙α) − δL
三拉格朗日量与诺特定理 -(0+)-=-=0 *此变分定义下计算仍可验证L=∑。（匙g。+张4），因此倒数第二步成立 诺特定理出发推导三大守恒 对时间平移不变的拉格朗日系统，有对称性()=qt+),这是由于6L=,g。=,因此可取1=L, 根据诺特定理得哈密顿量守恒： H=∑pn4a-L 对空间平移不变的拉格朗日系统，有对称性()=q()+m,这是由于空间平移不变要求对此的L=0, 这里v为任何位形空间矢量，于是计算得g=,取1=0，则有u,p守恒p为各个p。拼接，由v任 意性知守恒，也即广义动量守恒，若广义坐标取空间坐标，这里广义动量就成为普通动量。 *若对特定方向平移不变，由此即推出对特定方向动量守恒。 *若条件无6L=0,令g,()=g(心+U可得6L=v·产，于是可取l=v~p,最终会得出0=0的恒成立 式，这意味着任何系统都有某种“平移对称性”，而只有空间平移不变时才有意义 对空间转动不变的拉格朗日系统，我们不加证明地使用如下结论：eX是n阶实反对称阵到n阶特殊正交 阵的满射，且对给定的X,cX,c∈R的“旋转方向”一致[此处事实上是高维旋转方向一致的定义，在三 维时即为转轴相同1。 此时有对称性g.()=eXg),这是由于空间转动不变要求对此的L=0,这里X为某反对称阵，于是 计算得g=Xg,取l=0,则有p:Xg守恒，由X任意性，可取a3与Ba位置分别为±1，其他为0， 得到p9一g守恒，也即广义角动量守恒。 *若对特定方向旋转不变，由此即推出对特定方向角动量守恒，特别地，三维空间中有三个方向的角动量 若三维空间对任何X守恒即可计算得到p×q守恒。 更复杂的守恒：考虑柱坐标系（，中，）下某质点 L=(2+p22+)-Vp,a0+) 对称性： (p.b.z.）=(o.b+e.x-ae） 计算可得此时L=0,于是可取l=0,守恒荷为mp0-ma。 *反之，若己知守恒量，可直接通过动力学方程验证。 带电粒子在电磁场中的运动 带电粒子在电磁场中的拉格朗日量为 L=m2-c,)+子.，) 其中 E=-师-0i=v×A 计算可得 器=+ 品张=m+6.i+i 器=-6+5用
三 拉格朗日量与诺特定理 13 = X α ∂L ∂qα δqα + ∂L ∂q˙α δq˙α − δL = δL − δL = 0 * 此变分定义下计算仍可验证 δL = P α ∂L ∂qα δqα + ∂L ∂q˙α δq˙α ，因此倒数第二步成立。 诺特定理出发推导三大守恒 对时间平移不变的拉格朗日系统，有对称性 qϵ(t) = q(t + ϵ)，这是由于 δL = L, δq ˙ α = ˙qα，因此可取 l = L， 根据诺特定理得哈密顿量守恒： H = X α pαq˙α − L 对空间平移不变的拉格朗日系统，有对称性 qϵ(t) = q(t) + ϵv，这是由于空间平移不变要求对此的 δL = 0， 这里 v 为任何位形空间矢量，于是计算得 δq = v，取 l = 0，则有 v · p 守恒 [p 为各个 pα 拼接]，由 v 任 意性知 p 守恒，也即广义动量守恒，若广义坐标取空间坐标，这里广义动量就成为普通动量。 * 若对特定方向平移不变，由此即推出对特定方向动量守恒。 * 若条件无 δL = 0，令 qϵ(t) = q(t) + ϵv 可得 δL = v · p˙，于是可取 l = v · p，最终会得出 0 = 0 的恒成立 式，这意味着任何系统都有某种“平移对称性”，而只有空间平移不变时才有意义。 对空间转动不变的拉格朗日系统，我们不加证明地使用如下结论：e X 是 n 阶实反对称阵到 n 阶特殊正交 阵的满射，且对给定的 X，e ϵX, ϵ ∈ R 的“旋转方向”一致 [此处事实上是高维旋转方向一致的定义，在三 维时即为转轴相同]。 此时有对称性 qϵ(t) = e ϵXq(t)，这是由于空间转动不变要求对此的 δL = 0，这里 X 为某反对称阵，于是 计算得 δq = Xq˙，取 l = 0，则有 p · Xq˙ 守恒，由 X 任意性，可取 αβ 与 βα 位置分别为 ±1，其他为 0， 得到 pαqβ − qαpβ 守恒，也即广义角动量守恒。 * 若对特定方向旋转不变，由此即推出对特定方向角动量守恒，特别地，三维空间中有三个方向的角动量， 若三维空间对任何 X 守恒即可计算得到 p × q 守恒。 更复杂的守恒：考虑柱坐标系 (ρ, ϕ, z) 下某质点 L = 1 2 ( ˙ρ 2 + ρ 2ϕ˙2 + ˙z 2 ) − V (ρ, aϕ + z) 对称性： (ρϵ, ϕϵ, zϵ) = (ρ, ϕ + ϵ, z − aϵ) 计算可得此时 δL = 0，于是可取 l = 0，守恒荷为 mρ2ϕ˙ − maz˙。 * 反之，若已知守恒量，可直接通过动力学方程验证。 带电粒子在电磁场中的运动 带电粒子在电磁场中的拉格朗日量为 L = 1 2 mr˙ 2 − eΦ(⃗r, t) + e c ˙⃗r · A⃗(⃗r, t) 其中 E⃗ = −∇Φ − 1 c ∂A⃗ ∂t , B⃗ = ∇ × A⃗ 计算可得 ∂L ∂ ˙⃗r = m ˙⃗r + e c A⃗ d dt ∂L ∂ ˙⃗r = m¨⃗r + e c ( ˙⃗r · ∇)A⃗ + e c ˙A⃗ ∂L ∂⃗r = −e∇ϕ + e c ∇r( ˙⃗r · A⃗)