第5章刚体力学基础 夕一、刚体定轴转动的运动学措述 da d2e 角位移△日，角速度“二论，角加速度”水之 在匀变速转动条件下，即角加速度：为常数时有： =a+d让 m2-m,2=2a日 角速度是矢量，在定轴转动中其方向沿着轴向，它与刚体中r处点的线速度的矢量关系： 疗=面x产 角速度是矢量，在定轴转动中其方向沿着轴向，它与刚体中r处点的线加速度关系 京=立x疗+西x(击×) 其中：云=立×产为切向加速度：司，=①×(@×刀为法向加速度。 夕二、转动定律 1、力矩证=F×京 力矩一般说来是一空间矢量，在定轴转动中，角速度方向已经确定，沿转动轴方向，刚体转 动状态的改变只与力矩在这一方向上的分量有关。在定轴转动中，力矩可简化为代数量 其量值：M=PnP 2、转动惯量J 转动惯量是表示物体转动惯性的物理量，它与物体的质量大小、质量的分布及转轴位置都有 关系，是转动问题中的一个重要的物理量： (1)定义式： 不连续分布的质点系： 1=∑m52 J=r'dm 质量连续分布的物体 (2)平行轴定理： 任意物体绕某固定轴0的转动惯量为，绕通过质心C而平行于固定轴0的转动惯量为 了。，0轴与C轴间距为d,转动物体的总质量为，那么：了=。+md (3)垂直轴定理： 在少平面上，有一薄形板，薄板饶不轴的转动惯量为·，薄板饶》轴的转动惯量 为，那么，薄板饶通过轴的交点0垂直于平面的2轴的转动惯量
第 5 章 刚体力学基础 一、刚体定轴转动的运动学描述 角位移 ，角速度 ，角加速度 在匀变速转动条件下，即角加速度 为常数时有： ； ； 角速度是矢量，在定轴转动中其方向沿着轴向，它与刚体中 r 处点的线速度的矢量关系： 角速度是矢量，在定轴转动中其方向沿着轴向，它与刚体中 r 处点的线加速度关系： 其中： 为切向加速度： 为法向加速度。 二、转动定律 1、力矩 力矩一般说来是一空间矢量，在定轴转动中，角速度方向已经确定，沿转动轴方向，刚体转 动状态的改变只与力矩在这一方向上的分量有关。在定轴转动中，力矩可简化为代数量。 其量值： 2、转动惯量 J 转动惯量是表示物体转动惯性的物理量，它与物体的质量大小、质量的分布及转轴位置都有 关系，是转动问题中的一个重要的物理量： （1）定义式： 不连续分布的质点系： 质量连续分布的物体： （2）平行轴定理： 任意物体绕某固定轴 O 的转动惯量为 ，绕通过质心 C 而平行于固定轴 O 的转动惯量为 ，O 轴与 C 轴间距为 d，转动物体的总质量为 m，那么： （3）垂直轴定理： 在 平面上，有一薄形板，薄板饶 轴的转动惯量为 ，薄板饶 轴的转动惯量 为 ，那么，薄板饶通过 轴的交点 O 垂直于 平面的 轴的转动惯量：
J:=J,+J, 转动惯量除上述的计算方法，对于匀质简单形状的几何体可查表查得它的转动惯量，对于非 匀质或不规则的物体我们可以经过实验方法来测定： 3、转动定律： 一般形式为： 在刚体定轴转动中： 转动定律是转动问题中的基本规律，它的地位与质点动力学牛顿第二定律相当。用转动定律 的解题步骤也与牛顿第二定律类同。仍为分析研究对象，画出隔离体受力图，选取合适坐 标，列出相应方程，和求解讨论。因注意到过、了、a相对同一轴而言，M=a是个代 数式。 夕三、角动量原理 1、刚体定轴转动角动量： 2、角动量原理： 「M出=i-i 一般形式： 刚体定轴转动： ∫M业=忘-J.应 3、角动量守恒定律 系统（质点系或物体组）受到的合外矩为零，则系统的角动量守恒 M=0 ∑乙，=恒矢量 物体组绕z轴做定轴转动时： M=0 J应=恒量 应用角动量守恒定律时应注意： (1)合外力矩为零的条件而不是合外力为零的条件 (2)适用于惯性参照系（或质心参照系），对同一转轴而言 (3)适用于刚体也适用于非刚体 (4)适用于宏观也适用于微观 日、转动中的功能关系
。 转动惯量除上述的计算方法，对于匀质简单形状的几何体可查表查得它的转动惯量，对于非 匀质或不规则的物体我们可以经过实验方法来测定。 3、转动定律： 一般形式为： 在刚体定轴转动中： 转动定律是转动问题中的基本规律，它的地位与质点动力学牛顿第二定律相当。用转动定律 的解题步骤也与牛顿第二定律类同。仍为分析研究对象，画出隔离体受力图，选取合适坐 标，列出相应方程，和求解讨论。因注意到 、 、 相对同一轴而言， 是个代 数式。 三、角动量原理 1、刚体定轴转动角动量： 2、角动量原理： 一般形式： 刚体定轴转动： 3、角动量守恒定律： 系统（质点系或物体组）受到的合外矩为零，则系统的角动量守恒。 恒矢量 物体组绕 z 轴做定轴转动时： 恒量 应用角动量守恒定律时应注意： （1）合外力矩为零的条件而不是合外力为零的条件 （2）适用于惯性参照系（或质心参照系），对同一转轴而言 （3）适用于刚体也适用于非刚体 （4）适用于宏观也适用于微观 四、转动中的功能关系
1、力矩的功： A=「Mde 2、刚体的转动动能： =2m 3、功能定理：A=-0 式中A是指内力、外力、内力矩、外力矩的总功，而动能巴和巴知是质心的平动动能与刚 体或非刚体绕质心转动动能的总和。 4、机械能守恒 非保守内力、内力矩、非保守外力和外力矩不作功时系统的总机能保持不变。 号五、刚体的平面运动 刚体中某一平面，被限制在一固定平面内运动，有三个自由度，处理刚体平面运动有如下的 方法： 方法一，刚体平面运动可以分解为以质心运动为代表的平动和绕过质心的垂直轴的转动 质心运动服从质心运动规律】 ∑R,=9ag ∑F,=ma 绕质心轴转动服从质心系转动定律和动能定理 M=Ja 方法二，刚体平面运动可视为饶瞬时转轴P作纯转动。 对瞬轴的动能定理 式中，=J。+w2 但对瞬轴的转动定律，只有在，=J,+m“是个常数的条件下才能成立，例如圆柱体和球 作纯滚动时，，1=0，则对瞬时轴的转动定律才成立。 M,=J,a 六、刚体的进动
1、力矩的功： 2、刚体的转动动能： 3、功能定理： 式中 是指内力、外力、内力矩、外力矩的总功，而动能 和 是质心的平动动能与刚 体或非刚体绕质心转动动能的总和。 4、机械能守恒 非保守内力、内力矩、非保守外力和外力矩不作功时系统的总机能保持不变。 恒量 五、刚体的平面运动 刚体中某一平面，被限制在一固定平面内运动，有三个自由度，处理刚体平面运动有如下的 方法： 方法一，刚体平面运动可以分解为以质心运动为代表的平动和绕过质心的垂直轴的转动。 质心运动服从质心运动规律。 绕质心轴转动服从质心系转动定律和动能定理 方法二，刚体平面运动可视为饶瞬时转轴 P 作纯转动。 对瞬轴的动能定理 ； 式中 但对瞬轴的转动定律，只有在 是个常数的条件下才能成立，例如圆柱体和球 作纯滚动时， ，则对瞬时轴的转动定律才成立。 六、刚体的进动
进动是刚体的一种非定点运动，绕自转轴转动的回转仪在重力矩作用下，非但不会倾倒：而 且自转轴还会旋转。 1、回转仪进动的物理实质（在转动参照系中观察） 重力矩作用使回转仪倾倒：回转仪倾倒而产生垂直于自转轴的惯性力矩，使回转仪进动：回 转仪进动又产生与重力矩平衡的惯性力矩，使回转仪不再领倒，继续进动 2、回转仪进动方向的规则 回转仪的进动使其自转角速度的指向，具有向外加力矩指向靠拢的趋势。 =QxE dt 3、回转仪进动角速度： Q.-Jo Ja 对于给定刚体，进动角速度的大小，与外加力矩成正比，与刚体自转角速度成反比
进动是刚体的一种非定点运动，绕自转轴转动的回转仪在重力矩作用下，非但不会倾倒；而 且自转轴还会旋转。 1、回转仪进动的物理实质（在转动参照系中观察） 重力矩作用使回转仪倾倒；回转仪倾倒而产生垂直于自转轴的惯性力矩，使回转仪进动；回 转仪进动又产生与重力矩平衡的惯性力矩，使回转仪不再倾倒，继续进动。 2、回转仪进动方向的规则 回转仪的进动使其自转角速度的指向，具有向外加力矩指向靠拢的趋势。 3、回转仪进动角速度： 对于给定刚体，进动角速度的大小，与外加力矩成正比，与刚体自转角速度成反比
第5章刚体力学基础 夕【例5-1】计算质量为”半径为8的均质球体绕其轴线的转动惯量。 【解】方法一，由转动惯量的定义，由积分法求解，如图所示，体 密度为P的球体中一薄片圆盘的转动惯量 a-n=pg证 -po'de-DrR'cosR0 ↑y 号am0-meda-R 方法二，利用对称性求解 J,=[(y2+z2)dm J,-[(z2+x2)am J:=[(x2+y2)dm 由对称 .=,=以.=.+，+0=e+y+2n @图5-1 性 -ro4一0号 =2pRR”=亏mR 号【例5-2】设电风扁的功率恒定不变为P,风叶受到的空气阻力施与风叶旋转的角速度 四成正比，比例系数的k,并已知风叶转子的总转动惯量为J。 (1)原来静止的电扇通电层秒时刻的角速度。 (2)电扇稳定转动时的转速为多大？ (3)电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继线转多少角度？ M= 【解】1)电风扇的功率P=@,电动力矩“西，而阻力矩，=一@，由此对风扇 列特动定律方品，名和=如
第 5 章 刚体力学基础 【例 5-1】计算质量为 半径为 的均质球体绕其轴线的转动惯量。 【解】方法一，由转动惯量的定义，由积分法求解，如图所示，体 密度为 的球体中一薄片圆盘的转动惯量 方法二，利用对称性求解 由对称 性 【例 5-2】设电风扇的功率恒定不变为 P，风叶受到的空气阻力矩与风叶旋转的角速度 成正比，比例系数的 k，并已知风叶转子的总转动惯量为 J。 （1）原来静止的电扇通电后 秒时刻的角速度。 （2）电扇稳定转动时的转速为多大？ （3）电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？ 【解】（1）电风扇的功率 ，电动力矩 ，而阻力矩 ，由此对风扇 列出转动定律方程：