二拉格朗日方程 6 悬链线 设悬链线单位长度质量为p,函数(，则体系势能为 代入欧拉方程化简得到-(1+=0，解得y=C1c0sh投，可根据边界条件确定参数 带约束问题 绳子长度固定为L,两端都在x轴上，求围成面积最大的曲线 设函数为(，则面积S=dx,长度L=VT+乎d江。利用乘子法，对S+AL作变分为0可 列出欧拉方程，进一步求解即得（红-c1)2+(g-)2=A2。 *此处入可具有物理意义：入=一关系到面积随长度的变化 拉格朗日方程 根据最小作用量原理与欧拉方程可知对任何下标α有 d oLOL d0%6=0 这或是拉格朗只方程。 *拉格朗日量可加，相加即两个独立体系组成共同体系。 *由于S=Ld,L增加某对t的全微商f)后S增加f)-f化，为常数，因此不会影响变分的 计算。 *在未必是保守系统的一般情形下，势能V无意义，此时哈密顿原理仍然存在，但会有额外的项。 莫培督原理 对于保守场自由运动的质点，考虑作用量 s-mi-dr 则真实轨迹满足6S=0. 证明：由于L=T-V,能量E=T+V守恒，为常数，因此是t的全微商，从而哈密顿原理可改写为 r-v+=0 即25化Tdt=0。注意到单质点的Tdt可以写为mi,dF即可换元得证。 *对质点组，只需积分中对m可：d行求和。 $2.3虚功视角 约束运动：坐标与速度间存在一些不涉及任何力的限制关系，如f(q,,)=0或f(q,4,)≥0。 约束的分类： 1.定常约束（也称稳定约束）：不含时间的约束，如f(q,)=0:不定常约束：随时间变化的约束。 2.几何约束：不含速度的约束，可代表质点在曲线或曲面上运动，如f(4,)=0:完整约束有时认为 完整约束与几何约束等价：几何约束或可以积分为几何约束的约束，如q=0实质上是约束在平 面上，仍然是几何约束：非完整约束：不可积分为几何约束的约束
二 拉格朗日方程 6 悬链线 设悬链线单位长度质量为 ρ，函数 y(x)，则体系势能为 V = ρg Z x2 x1 yds = ρg Z x2 x1 y p 1 + ˙y 2 dx 代入欧拉方程化简得到 yy¨ − (1 + ˙y) 2 = 0，解得 y = C1 cosh x+C2 C1 ，可根据边界条件确定参数。 带约束问题 绳子长度固定为 L，两端都在 x 轴上，求围成面积最大的曲线。 设函数为 y(x)，则面积 S = R x2 x1 ydx，长度 L = R x2 x1 p 1 + ˙y 2 dx。利用乘子法，对 S + λL 作变分为 0 可 列出欧拉方程，进一步求解即得 (x − c1) 2 + (y − c2) 2 = λ 2。 * 此处 λ 可具有物理意义：λ = − δS δL 关系到面积随长度的变化。 拉格朗日方程 根据最小作用量原理与欧拉方程可知对任何下标 α 有 d dt ∂L ∂q˙α − ∂L ∂qα = 0 这就是拉格朗日方程。 * 拉格朗日量可加，相加即两个独立体系组成共同体系。 * 由于 S = R t2 t1 Ldt，L 增加某对 t 的全微商 f ′ (t) 后 S 增加 f(t2) − f(t1)，为常数，因此不会影响变分的 计算。 * 在未必是保守系统的一般情形下，势能 V 无意义，此时哈密顿原理仍然存在，但会有额外的项。 莫培督原理 对于保守场自由运动的质点，考虑作用量 S = Z B A m⃗v · d⃗r 则真实轨迹满足 δS = 0。 证明：由于 L = T − V ，能量 E = T + V 守恒，为常数，因此是 t 的全微商，从而哈密顿原理可改写为 δ Z t2 t1 (T − V + E)dt = 0 即 2δ R t2 t1 T dt = 0。注意到单质点的 T dt 可以写为 1 2m⃗v · d⃗r 即可换元得证。 * 对质点组，只需积分中对 m⃗v · d⃗r 求和。 §2.3 虚功视角 约束运动：坐标与速度间存在一些不涉及任何力的限制关系，如 f(q, q, t ˙ ) = 0 或 f(q, q, t ˙ ) ≥ 0。 约束的分类： 1. 定常约束 (也称稳定约束)：不含时间的约束，如 f(q, q˙) = 0；不定常约束：随时间变化的约束。 2. 几何约束：不含速度的约束，可代表质点在曲线或曲面上运动，如 f(q, t) = 0；完整约束 [有时认为 完整约束与几何约束等价]：几何约束或可以积分为几何约束的约束，如 q · q˙ = 0 实质上是约束在平 面上，仍然是几何约束；非完整约束：不可积分为几何约束的约束
二拉格明日方程 3.可解约束：可在某一方向脱离的约束，即不等式表达且无法化为等式的约束：不可解约束：等式表达 的约束。 自由度：N个质点的自由运动可用3N个独立参量描述（每个质点的空间位置），而每有一个独立的完整 约束，自由参量就减少了一个，若存在k个，则自由度s=3N-k。 广义坐标：自由度为8时，采用8个独立坐标，，9，描述系统，它们就是广义坐标。广义坐标张成的 维空间称为位形空间。 *可解约束视为成立而减少自由度，不成立时需增加一个独立坐标，重新处理。 *广义坐标可以任意选取，但应遵循简洁的原则，如两连单摆构成的双摆只需选取两杆分别的角度0，？ 作为广义坐标。 *称为广义速度 虚位移 假象质点系统发生了微小的符合约束的位移，与实位移dr差别： 1.解时完成，不需要时间： 2.满足约束时可任意选取，并未真实发生： 3.无论对定常或非定常约束都沿着切线方向如膨胀气球上爬行的小虫，虚位移不需要时间因此必为切 线方向。 理想约束：约束反力所作虚功之和为0，即∑，瓦·所=0，例如 1.物体在光滑曲面运动，约束力必然垂直曲面，于是1示： 2.刚性约束：约束力成对出现瓦+2=0如对刚体的约束： 3.接触约束：摩擦力等这里事实上是将摩擦力作为约束产生的主动力处理]。 虚功原理 理想约束条件下，平衡时主动力所做总虚功为0 虚功：力在虚位移下作的假想的功 w=∑（后+）所 这里示为质占所母主动力，豆为质占所受约束力。 若所有质点处在平衡态，必然有+=0，于是W=0,对理想约束即有∑·所=0 广义坐标下： =0 =1a= 由于广义坐标互相独立，记广义力Q。=∑，月·，则方程为∑。Qa6g=0,于是Q。=0。 *保守力体系中设=一VV这里V:知对应子 的三个分量求导后拼成矢量，则Q。=一严=0，于 是虚功原理可写成W=一V=0,也即平衡时势能达到极值。 达朗贝尔原理 理想约束条件下，非平衡时主动力与惯性力所作总虚功为0。 m=耳+屁→∑（-m):所=0
二 拉格朗日方程 7 3. 可解约束：可在某一方向脱离的约束，即不等式表达且无法化为等式的约束；不可解约束：等式表达 的约束。 自由度：N 个质点的自由运动可用 3N 个独立参量描述 (每个质点的空间位置)，而每有一个独立的完整 约束，自由参量就减少了一个，若存在 k 个，则自由度 s = 3N − k。 广义坐标：自由度为 s 时，采用 s 个独立坐标 q1, . . . , qs 描述系统，它们就是广义坐标。广义坐标张成的 s 维空间称为位形空间。 * 可解约束视为成立而减少自由度，不成立时需增加一个独立坐标，重新处理。 * 广义坐标可以任意选取，但应遵循简洁的原则，如两连单摆构成的双摆只需选取两杆分别的角度 θ1, θ2 作为广义坐标。 * 称 q˙i 为广义速度 虚位移 假象质点系统发生了微小的符合约束的位移 δr，与实位移 dr 差别： 1. 瞬时完成，不需要时间； 2. 满足约束时可任意选取，并未真实发生； 3. 无论对定常或非定常约束都沿着切线方向 [如膨胀气球上爬行的小虫，虚位移不需要时间因此必为切 线方向]。 理想约束：约束反力所作虚功之和为 0，即 P i R⃗ i · δ⃗ri = 0，例如： 1. 物体在光滑曲面运动，约束力必然垂直曲面，于是 R⃗⊥δ⃗r； 2. 刚性约束：约束力成对出现 R⃗ 1 + R⃗ 2 = 0 [如对刚体的约束]； 3. 接触约束：摩擦力等 [这里事实上是将摩擦力作为约束产生的主动力处理]。 虚功原理 理想约束条件下，平衡时主动力所做总虚功为 0。 虚功：力在虚位移下作的假想的功 δW = X i (F⃗ i + R⃗ i) · δ⃗ri 这里 F⃗ 为质点所受主动力，R⃗ 为质点所受约束力。 若所有质点处在平衡态，必然有 F⃗ i + R⃗ i = 0，于是 δW = 0，对理想约束即有 P i F⃗ i · δ⃗ri = 0。 广义坐标下： X N i=1 Xs α=1 F⃗ i · ∂⃗ri ∂qα δqα = 0 由于广义坐标互相独立，记广义力 Qα = P i F⃗ i · ∂⃗ri ∂qα，则方程为 P α Qαδqα = 0，于是 Qα = 0。 * 保守力体系中设 F⃗ i = −∇iV [这里 ∇i 知对应 ⃗ri 的三个分量求导后拼成矢量]，则 Qα = − ∂V ∂qα = 0，于 是虚功原理可写成 δW = −δV = 0，也即平衡时势能达到极值。 达朗贝尔原理 理想约束条件下，非平衡时主动力与惯性力所作总虚功为 0。 m¨⃗ri = F⃗ i + R⃗ i ⇒ X i F⃗ i − m¨⃗ri · δ⃗ri = 0
二拉格朗日方程 双连杆平衡 两长度为l,2、质量为m, 2连杆，力F水平向前作用在最底端，求平衡时两连杆的偏移角度1,B2 记两连杆中心点，，F作用点，则 6W=m1g.6+m2g6品2+F.6 且这里，(0)=(cos0,sin),向下、向前为两轴正方向] =(0) =1e,(0)+e,(02) g=I1e,(01)+l2e,(02) 代入整理并由1,602独立即可解出 2F 2F 0arctan (marctanm *由于下与mG均为保守力，此处也可用势能最低解出结果。 连线穿孔两小球运动 桌面上有一质量m1小球，通过一条长1的线连接到原点处桌下自由下落质量m2小球，求运动轨迹。 取广义坐标为桌上小球的,,则有 i=rrf=-(l-r)e: 于是可进一步算出沉，行，与元，在广义坐标下的表示，从而代入达朗贝尔方程得到[由垂直忽略m的 重力项] -m1(-r护)e,+(ri+2r0)eg)·(6re,+r60eo)+(-m29-m2r)e.·dre2=0 化简得到 J(m1+m2)F-m1r2+m2g=0 8+2r0=0 *第二个方程可以得到29为常数，本质为角动量守恒，从而可以进一步求解轨迹。 拉格朗日方程的推导 根据达朗贝尔原理变换为广义坐标后可得方程 ∑m那-o. 由于元=∑.肥+需，有 张-蕊 于是对动能T有 需-∑恶恶-工m成恶 代入化简即有 品g-恶-0 这就是一般的拉格朗日方程
二 拉格朗日方程 8 双连杆平衡 两长度为 l1, l2、质量为 m1, m2 连杆，力 F⃗ 水平向前作用在最底端，求平衡时两连杆的偏移角度 θ1, θ2。 记两连杆中心点 ⃗r1, ⃗r2，F⃗ 作用点 ⃗rF，则 δW = m1⃗g · δ⃗r1 + m2⃗g · δ⃗r2 + F⃗ · δ⃗rF 且 [这里 eˆr(θ) = (cos θ,sin θ)，向下、向前为两轴正方向] ⃗r1 = l1 2 eˆr(θ1) ⃗r2 = l1eˆr(θ1) + l2 2 eˆr(θ2) ⃗rF = l1eˆr(θ1) + l2eˆr(θ2) 代入整理并由 δθ1, δθ2 独立即可解出 θ1 = arctan 2F (m1 + 2m2)g , θ2 = arctan 2F m2g * 由于 F⃗ 与 m⃗g 均为保守力，此处也可用势能最低解出结果。 连线穿孔两小球运动 桌面上有一质量 m1 小球，通过一条长 l 的线连接到原点处桌下自由下落质量 m2 小球，求运动轨迹。 取广义坐标为桌上小球的 r, θ，则有 ⃗r1 = reˆr, ⃗r2 = −(l − r)ˆez 于是可进一步算出 δ⃗r1, δ⃗r2 与 ¨⃗r1, ¨⃗r2 在广义坐标下的表示，从而代入达朗贝尔方程得到 [由垂直忽略 m1 的 重力项] −m1 (¨r − r ˙θ 2 )ˆer + (r ¨θ + 2 ˙r ˙θ)ˆeθ · (δreˆr + rδθeˆθ) + (−m2g − m2r¨)ˆez · δreˆz = 0 化简得到 (m1 + m2)¨r − m1r ˙θ 2 + m2g = 0 r ¨θ + 2 ˙r ˙θ = 0 * 第二个方程可以得到 r 2 ˙θ 为常数，本质为角动量守恒，从而可以进一步求解轨迹。 拉格朗日方程的推导 根据达朗贝尔原理变换为广义坐标后可得方程 X i mi ¨⃗ri · ∂⃗ri ∂qα = Qα 由于 ˙⃗ri = P α ∂⃗ri qα q˙α + ∂⃗ri ∂t ，有 ∂⃗ri ∂qα = ∂ ˙⃗ri ∂q˙α 于是对动能 T 有 ∂T ∂q˙α = X i mi ˙⃗ri · ∂⃗ri ∂qα , ∂T ∂qα = X i mi ˙⃗ri · ∂ ˙⃗ri ∂qα 代入化简即有 d dt ∂T ∂q˙α − ∂T ∂qα = Qα 这就是一般的拉格朗日方程
二拉格明日方程 *对保守系统，代入Q。=一恶即得 这里L=T-V。 *拉格朗日方程也可以改写为是兴-匙-Q,Q。表示非保守力的部分。 $2.4拉格朗日力学 优势： 1.其为s(自由度)个二阶动力学方程，较之牛顿力学更简洁，且引入广义坐标后可能简化问题： 2.拉格朗日力学分析对象是能量量纲的拉格朗日量，分析性质更重，弱化了几何上的矢量方程： 3.能量作为相互作用的普遍度量在物理学中有普适性： 4.根据对称性，可以从新的拉格朗日量出发构造新理论。 一般求解流程： 1.确定系统自由度： 2.选择广义坐标 3.将位置矢量用广义坐标表达： 4.计算速度 5.给出总动能： 6.给出势能或广义力： 7.得到拉格朗日方程组： 8.结合初始条件求解。 一维运动 L=2m2-V) 于是mt=影，从而 m=-V'(e) 由此也可计算得到 E=22+V() 是守恒量。 二维向心力场 以？，0作为广义坐标，则变换坐标系计算动能得到 L=2+r202)-V) 对？，0分别代入拉格朗日方程有 mi =mr02-V'(r)
二 拉格朗日方程 9 * 对保守系统，代入 Qα = − ∂V ∂qα 即得 d dt ∂L ∂q˙α − ∂L ∂qα = 0 这里 L = T − V 。 * 拉格朗日方程也可以改写为 d dt ∂L ∂q˙α − ∂L ∂qα = Q¯ α，Q¯ α 表示非保守力的部分。 §2.4 拉格朗日力学 优势： 1. 其为 s (自由度) 个二阶动力学方程，较之牛顿力学更简洁，且引入广义坐标后可能简化问题； 2. 拉格朗日力学分析对象是能量量纲的拉格朗日量，分析性质更重，弱化了几何上的矢量方程； 3. 能量作为相互作用的普遍度量在物理学中有普适性； 4. 根据对称性，可以从新的拉格朗日量出发构造新理论。 一般求解流程： 1. 确定系统自由度； 2. 选择广义坐标； 3. 将位置矢量用广义坐标表达； 4. 计算速度； 5. 给出总动能； 6. 给出势能或广义力； 7. 得到拉格朗日方程组； 8. 结合初始条件求解。 一维运动 L = 1 2 mx˙ 2 − V (x) 于是 mx˙ = ∂L ∂x˙ ，从而 mx¨ = −V ′ (x) 由此也可计算得到 E = 1 2 x˙ 2 + V (x) 是守恒量。 二维向心力场 以 r, θ 作为广义坐标，则变换坐标系计算动能得到 L = 1 2 ( ˙r 2 + r 2 ˙θ 2 ) − V (r) 对 r, θ 分别代入拉格朗日方程有 mr¨ = mr ˙θ 2 − V ′ (r)
二拉格朗日方程 10 4mr20)=0 第二个式子即为角动量守恒，记0=m2,代入第一个式子可得 m=慕-o 从而即可求解r。 阿特伍德机 无摩擦滑轮两端悬挂质量m1,m2物体，设绳竖直部分！长，m1上方长工，则 L=m:+m)2+mgr+m2g1-） 代入拉格朗日方程即解出 弹簧单摆 质量M,原长α水平弹簧一端挂线长1单摆，小球质量m,以弹簧长度变化x与单摆角度0作广义坐标 则计算可得 L=M+m(+1cos902+Qsin902)）-5kx2-m6 于是代入拉格朗日方程得 (M+m)+ml cos00-ml sin002 =-kx ml cos+ml20=-mgl sin0 *小振动时si血日≥，cs01，于是可得到线性常微分方程组，通过特征值解得固有频率 峰=（6+(（1+a)±√6-2+2n(6+i号 这里a=晋，w哈=意，好= 双摆 单摆末端连接另一单摆，已知1，m,2,m,以0，为广义坐标，则 1=h sin0,r2=h sin+lsin h=-41c0s91,期=-41c0s91-l2c0sA2 于是列出拉格朗日量后可解出 l,d+mh(cos(0-0a)8+sin(8-0)02）+9sin8=0 h cos(01 -02)01 +1a02 -li sin(01-02)03 +gsin 2 =0 *类似代数处理得到小振动时可得简正频率为 4=喝=号 =0-)±0-卵+a=m平nm8=会
二 拉格朗日方程 10 d dt (mr2 ˙θ) = 0 第二个式子即为角动量守恒，记 pθ = mr2 ˙θ，代入第一个式子可得 mr¨ = p 2 θ mr3 − V ′ (r) 从而即可求解 r。 阿特伍德机 无摩擦滑轮两端悬挂质量 m1, m2 物体，设绳竖直部分 l 长，m1 上方长 x，则 L = 1 2 (m1 + m2) ˙x 2 + m1gx + m2g(l − x) 代入拉格朗日方程即解出 x¨ = m1 − m2 m1 + m2 g 弹簧单摆 质量 M，原长 a 水平弹簧一端挂线长 l 单摆，小球质量 m，以弹簧长度变化 x 与单摆角度 θ 作广义坐标， 则计算可得 L = 1 2 Mx˙ 2 + 1 2 m ( ˙x + l cos θ ˙θ) 2 + (lsin θ ˙θ 2 ) − 1 2 kx2 − mgl cos θ 于是代入拉格朗日方程得 (M + m)¨x + ml cos θ ¨θ − mlsin θ ˙θ 2 = −kx ml cos θx¨ + ml2 ¨θ = −mglsin θ * 小振动时 sin θ ≃ θ, cos θ ≃ 1，于是可得到线性常微分方程组，通过特征值解得固有频率 ω 2 ± = 1 2 (ω 2 0 + (1 + α)ω 2 1 ) ± 1 2 q (ω 2 0 − ω 2 1 ) 2 + 2α(ω 2 0 + ω 2 1 )ω 2 1 这里 α = m M , ω2 0 = k M , ω2 1 = g l 。 双摆 单摆末端连接另一单摆，已知 l1, m1, l2, m2，以 θ1, θ2 为广义坐标，则 x1 = l1 sin θ1, x2 = l1 sin θ1 + l2 sin θ2 y1 = −l1 cos θ1, y2 = −l1 cos θ1 − l2 cos θ2 于是列出拉格朗日量后可解出 l1 ¨θ1 + m2l2 m1+m2 cos(θ1 − θ2) ¨θ2 + sin(θ1 − θ2) ˙θ2 + g sin θ1 = 0 l1 cos(θ1 − θ2) ¨θ1 + l2 ¨θ2 − l1 sin(θ1 − θ2) ˙θ1 + g sin θ2 = 0 * 类似代数处理得到小振动时可得简正频率为 ω± = ω0 1 + r± , ω2 0 = g l1 r± = 1 2 (β − 1) ± 1 2 p (1 − β) 2 + 4αβ, α = m2 m1 + m2 , β = l1 l2