第3章机械能和功 9一、功 1、功能的定义式 恒力的功：A=万.可 变力的功：A=∫F护 2、保守力 若某力所作的功仅取决于始末位置而与经历的路径无关，则该力称保守力。或满足下述关系 的力云称保守力： 京，a莎=0 3、几种常见的保守力的功： (1)重力的功：A=州g。一州g, A=-( (2)万有引力的功： r (3)弹性力的功： 4、功 P= 号、势能保守力的功只取决于相对位置的改变而与路径无关。由相对位置决定系统所 具有的能量称之为势能。 1、常见的势能有 (1)重力势能 E,=g的 B.=-G Min (2)万有引力势能 r (3)弹性势能 , 2、势能与保守力的关系 (1)保守力的功等于势能的减少 E-巴，=」万r
第 3 章 机械能和功 一、功 1、功能的定义式： 恒力的功： 变力的功： 2、保守力 若某力所作的功仅取决于始末位置而与经历的路径无关，则该力称保守力。或满足下述关系 的力 称保守力： 3、几种常见的保守力的功： （1）重力的功： （2）万有引力的功： （3）弹性力的功： 4、功率 二、势能保守力的功只取决于相对位置的改变而与路径无关。由相对位置决定系统所 具有的能量称之为势能。 1、常见的势能有 （1）重力势能 （2）万有引力势能 （3）弹性势能 2、势能与保守力的关系 （1）保守力的功等于势能的减少
(2)保守力为势能函数的梯度负值。 ：-%，=-识+7+ (3)势能曲线 势能曲线能很直观地表述一维运动的主要特征，如运动范围，平衡位置，保守力随 位置的变化情况，动能与势能的相互转换等。 号三、动能定寒、功能原建、机械能守恒定件 功可分为：外力的功A、保守内力的功A✉、和非保守内力的功40 1、质点动能定理 A=m-洲u 2、质点系动能定理： 4++-m听 3、功能原理：A+Ag=(但，+区，)-（但0+80） 4、机械能守恒定律：A=0,A如=0时，风，+8，=80+，0
（2）保守力为势能函数的梯度负值。 （3）势能曲线 势能曲线能很直观地表述一维运动的主要特征，如运动范围，平衡位置，保守力随 位置的变化情况，动能与势能的相互转换等。 三、动能定理、功能原理、机械能守恒定律 功可分为：外力的功 、保守内力的功 、和非保守内力的功 1、 质点动能定理： 2、质点系动能定理： 3、功能原理： 4、机械能守恒定律： ， 时
第3章机械能和功 号【例3-1已蜘知三种力如下，月=名7，月=风，月=-（如+刀.式中、 为x、y方向的单位矢量，元为速度方向的单位矢量，只、【为常数。 （1)分别计算这三种力沿任意路径所作的功： (2)判断哪是保守力，哪是非保守力： 【解】)根据题意及功的定义，处理云、瓦力作功取直角坐标，处理瓦力作功取 自然坐标，原点选在运动的开始点，则： A=∫瓦r=∫Ej(dm+j+dz)=∫E.o=Ey A=∫瓦d=∫F元。e元。=∫Es=Ec A,=∫idr=∫K(a+)(d加++d =-可xd+j0=-号(x+y) ②)根据保字力的定义.∫疗示=0 }瓦dr=5Fy=0 克，r=E,s=Rs (s为闭合路径的长度) fF dr=f-k(xdx+ydy)=-k(f xdx+ydy)=0 因此反、瓦为保守力，司为非保守力 【例3-2】轻弹簧AB的上端A固定，下增B悬挂质量为”的重物。已知弹簧原长 ·,劲度系数为水，重物在0点达到平衡，此时弹簧伸长了，如图所示。取不轴向下为 正，且坐标原点位于： (1)弹簧原长位置0'， (2)力的平衡位置。 若取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，试分别计算重物在任一位置°时系统的总势 能
第 3 章 机械能和功 【例 3-1】已知三种力如下： ； ； 。式中 、 为 x、y 方向的单位矢量， 为速度方向的单位矢量， 、K 为常数。 （1）分别计算这三种力沿任意路径所作的功； （2）判断哪是保守力，哪是非保守力； 【解】（1）根据题意及功的定义，处理 、 力作功取直角坐标，处理 力作功取 自然坐标，原点选在运动的开始点，则： （2）根据保守力的定义： （s 为闭合路径的长度） 因此 、 为保守力， 为非保守力。 【例 3-2】轻弹簧 AB 的上端 A 固定，下端 B 悬挂质量为 的重物。已知弹簧原长 ，劲度系数为 ，重物在 O 点达到平衡，此时弹簧伸长了 ，如图所示。取 轴向下为 正，且坐标原点位于： （1）弹簧原长位置 ； （2）力的平衡位置 。 若取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，试分别计算重物在任一位置 时系统的总势 能
【解】(1)以弹簧原长O点为坐标原点，系统总势能 (2)若以重力与弹性力合力的平衡位置为原点， 则有 g-6=0 4贤 Or 任意位置x处的系统总势能： 耳，-+2-标2-mgx=x+2-mg 丝图3-2 x 由此可知，以重力和弹性力合力的平衡位置为原点为势能的零点，它的总势能与只有 弹性势能的是等效的。这样势能零点的选取，应用在实际问题中就方便多了。 这一结果还可以从另一方面来理解，重力和弹性力都是保守力，它的合力下也应是保 守力，现取重力和弹性力的平衡位置为坐标原点，则合力的大小 F=g-(x0十x)=-x 与单纯只有弹性力一样，因为它的总势能就应 8,= 乡 ，【例33】双原子分子的劳西数可表示为：8宁 式中a、b为正常数，这势函数曲线可如题图3-3阳所示，如果双原子分子的总能量为零。 求：(1)双原子之间的最小距离： (2)双原子之间平衡位置的距离： (3)双原子之间最大引力时的两原子距离： (4)势阱深度Ed: (5)画出与势能曲线相应的原子之间的相互作用力曲线
【解】（1）以弹簧原长 点为坐标原点，系统总势能 （2）若以重力与弹性力合力的平衡位置为原点， 则有 任意位置 x 处的系统总势能： 由此可知，以重力和弹性力合力的平衡位置为原点为势能的零点，它的总势能与只有 弹性势能的是等效的。这样势能零点的选取，应用在实际问题中就方便多了。 这一结果还可以从另一方面来理解，重力和弹性力都是保守力，它的合力 F 也应是保 守力，现取重力和弹性力的平衡位置为坐标原点，则合力的大小 与单纯只有弹性力一样，因为它的总势能就应 【例 3-3】双原子分子的势函数可表示为： 式中 a、b 为正常数，这势函数曲线可如题图 3-3a 所示，如果双原子分子的总能量为零。 求：（1）双原子之间的最小距离； （2）双原子之间平衡位置的距离； （3）双原子之间最大引力时的两原子距离； （4）势阱深度 Ed: （5）画出与势能曲线相应的原子之间的相互作用力曲线
【解】(1)由题意双原子的总能量为零，即 E=E,+E,=0 当动能品，=0时，巴，为最大，两原子之间有最小距离 0= x亚x6 解得： xa=得 (2)平衡位置的条件为F=0。 又有势函数与两原子相互作用力的关系： 邈图33a 可得： (3)最大引力的条件为： d12a66 即：和=0 4想图3-3 ,0 26a 此时两原子相距： x,=7 2a (4)将平衡位置两原子之间的距离 方代入势函数公式，可得势阱深度： E。= a 6 Aa (5)分子之间相互作用的势能曲线可用题图3-3a表示，由保守力与势能系数的关 可知，势能曲线斜率的负值应为保守力的大小。势能曲线上极小植的位置处应有：
【解】（1）由题意双原子的总能量为零，即 当动能 时， 为最大，两原子之间有最小距离 解得： （2）平衡位置的条件为 F=0。 又有势函数与两原子相互作用力的关系： 可得： （3）最大引力的条件为： 即： 此时两原子相距： （4）将平衡位置两原子之间的距离 代入势函数公式，可得势阱深度： （5）分子之间相互作用的势能曲线可用题图 3-3a 表示，由保守力与势能系数的关 系： 可知，势能曲线斜率的负值应为保守力的大小。势能曲线上极小植的位置 处应有：