对余项r(x)的积分形式应用积分第一中值定理,考虑到当 t∈[x,x(或[x,x])时,(x-m)保持定号,于是就有 (n+1)(2) 厂n(x) (x-)”dt (在x与x之间) (n+1) (x0+6(x-x0) (n+1)! (x-x0),0≤0≤1, 这就是我们已经知道的 Lagrange余项;
对余项 xr )( n 的积分形式应用积分第一中值定理，考虑到当 ],[ 0 ∈ xxt （或 0 [, ] x x ）时， n − tx )( 保持定号，于是就有 xr )( n = ( 1) ( ) ! n f n ξ + ∫ − xx n ttx 0 d)( （ξ 在 0 x 与 x 之间） ( 1) 0 0 1 0 ( ( )) ( ) ( 1)! n n f x xx x x n θ + + − + = − + ， 0≤ θ ≤ 1， 这就是我们已经知道的 Lagrange 余项；
对余项r(x)的积分形式应用积分第一中值定理,考虑到当 t∈[x0,x](或[x,x])时,(x-1保持定号,于是就有 (n+1)(2) 厂n(x) (x-)”dt (在x与x之间) (n+1) (x0+6(x-x0) (n+1)! (x-x0),0≤0≤1, 这就是我们已经知道的 Lagrange余项; 如果将∫((o)x-1)"看作一个函数,应用积分第一中值定理,则 有 (n+1) r(x)= (2(x-5) dt (在x与x之间) To N(x-x)1-6)(x-x)+1,0≤≤1, r(x)的这一形式称为 Cauchy余项
如果将 n n txtf ))(()1( − + 看作一个函数，应用积分第一中值定理，则 有 xr )( n 0 ( 1) ( )( ) d ! n n x x f x t n ξ ξ + − = ∫ （ξ 在 0 x 与 x 之间） ( 1) 0 0 1 0 ( ( )) (1 ) ( ) ! n n n f x xx x x nθ θ + + − + = − − ，0≤ θ ≤ 1， xr )( n 的这一形式称为 Cauchy 余项。 对余项 xr )( n 的积分形式应用积分第一中值定理，考虑到当 ],[ 0 ∈ xxt （或 0 [, ] x x ）时， n − tx )( 保持定号，于是就有 xr )( n = ( 1) ( ) ! n f n ξ + ∫ − xx n ttx 0 d)( （ξ 在 0 x 与 x 之间） ( 1) 0 0 1 0 ( ( )) ( ) ( 1)! n n f x xx x x n θ + + − + = − + ， 0≤ θ ≤ 1， 这就是我们已经知道的 Lagrange 余项；
初等函数的 Taylor展开 (1)f(x)=e=∑x=1+x+1++…++…,x∈(m2+∞) 证在§54我们得到e在x=0的 Taylor公式 其中r()表示成 Lagrange余聊可+(x),x∈(-m+∞), x 1+x+—++… f(8x 1 r(x 0<<1。 n+ (n+1 由于 rn(x)|≤ n n 对一切x∈(-0,+∞)成立,所以e的 Taylor展开式成立
初等函数的 Taylor 展开 (1) f (x) = ex =∑ ∞ =0 ! n n n x ++++++= "" !!3!2 1 32 n xxx x n ， x ∈ −∞ +∞),( 。 证 在§5.4 我们得到 ex 在 x = 0 的 Taylor 公式 !!3!2 1e 32 n xxx x n x "+++++= + r x n ( )， x ∈ −∞ +∞),( ， 其中 xr )( n 表示成 Lagrange 余项为 ( 1) 1 ( ) ( ) ( 1)! n n n f x rx x n θ + + = + e 1 ( 1)! x n x n θ + = + ， 0< θ < 1。 由于 ｜ xr )( n ｜≤ 0|| )!1( e 1 || → + n+ x x n ( n → ∞ ) 对一切 x +∞−∞∈ ),( 成立，所以 ex 的 Taylor 展开式成立