7、偏导数概念 定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻 域内有定义,当y固定在而x在x处有增量 Δx时,相应地函数有增量 f(x0+△x,y)-f(x0,y0), 如果linf(x+△x,J)-f(x,y 存在,则称 △x→>0 △x 此极限为函数x=f(x,y)在点(x0,y)处对x的 偏导数,记为
定 义 设函数z = f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 的某一邻 域内有定义，当y 固定在 0 y 而x 在 x0处有增量 x时，相应地函数有增量 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + x y − f x y ， 如果 x f x x y f x y x + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在，则称 此极限为函数z = f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 处对x 的 偏导数，记为 7、偏导数概念
DZ af X=x Oxx=xo ax x=xo x 或f(x0,y0) y=Vo y=Vo y=Vo 同理可定义函数z=f(x,y)在点(x0,y处劝 的偏导数,为 f(x0,yo+△y)-∫(x0,y) im △y→0 △ az 记为 af ,xn=x或f(x,yn) X= x=x y=Vo y=yo V=v
同理可定义函数z = f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 处对y 的偏导数， 为 y f x y y f x y y + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 记为 0 0 y y y x x z = = ， 0 0 y y y x x f = = ， 0 0 y y x x y z = = 或 ( , ) 0 0 f x y y . 0 0 y y x x x z = = ， 0 0 y y x x x f = = ， 0 0 y y x x x z = = 或 ( , ) 0 0 f x y x
如果函数z=f(x,y)在区域D内任一点 (x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数 就是x、y的函数,它就称为函数z=∫(x,y)对 自变量x的偏导数, 0z0f,z.或f(x,y ax ax 同理可以定义函数z=∫(x,y)对自变量y的偏导 数,记作 a3或∫,(x,y)
如果函数z = f ( x, y)在区域D 内任一点 (x, y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是x、y的函数，它就称为函数z = f ( x, y)对 自变量x的偏导数， 记作 x z ， x f ， x z 或 f (x, y) x . 同理可以定义函数z = f ( x, y)对自变量y 的偏导 数，记作 y z ， y f ， y z 或 f (x, y) y
8、高阶偏导数 函数z=f(x,y)的二阶偏导数为 a az a a azaz axax) ax 2=fx(x,y), fM,(x, y), 纯偏导 0(a a 8z 8z ay axa ∫x(x,y) Ox/ayax f,(,y) 混合偏导 定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 导数
８、高阶偏导数 ( , ), 2 2 f x y x z x z x = xx = ( , ), 2 2 f x y y z y z y = yy = ( , ), 2 f x y x y z x z y = xy = ( , ). 2 f x y y x z y z x = yx = 函数z = f (x, y)的二阶偏导数为 纯偏导 混合偏导 定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 导数
9、全微分概念 如果函数z=∫(x,y)在点(x,y)的全增量 △=∫(x+△x,y+Δy)-∫(x,y)可以表示为 △z=A△x+B△y+0(p),其中A,B不依赖于 △x,4而仅与x,有关,p=√△x)2+(4y)2, 则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分, AAx+B△y称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的 全微分,记为d,即dz=A△x+B△y
如果函数z = f ( x, y)在点(x, y) 的全增量 z = f ( x + x, y + y) − f ( x, y)可以表示为 z = Ax + By + o( )，其中 A,B 不依赖于 x,y而仅与x, y 有关， 2 2 = (x) + (y) ， 则称函数z = f ( x, y)在点(x, y) 可微分， Ax + By称为函数z = f ( x, y )在点(x, y) 的 全微分，记为dz，即 dz=Ax + By. ９、全微分概念