第二节常数项级数的审敛法 、正项级数及其审敛法 2Ⅵ 1定义:如果级数∑u各项均有n≥0 这种级数称为正项级数 n1=S+an+1≥Sn 2正项级数收敛的充要条件:S1≤S2≤…≤SnS 部分和数列为兽週增加数列 q6≤ Ⅵ
一、正项级数及其审敛法 1.定义: 如果级数 中各项均有 0， 1 = n n un u 这种级数称为正项级数. 2.正项级数收敛的充要条件: s1 s2 sn 部分和数列 {sn } 为单调增加数列. 第二节 常数项级数的审敛法
定理正项级数收敛部分和所成的数列s有界 M esn=s=aM>0><M LunAn=s 彐M>031Sl≤M
定理 . n 正项级数收敛部分和所成的数列 s 有界
3比较审敛法设∑和∑均为正项级数, 专第21028 且 u <y.(n=1,2,),若∑收敛则∑u收敛; 力=MW+1 “大的把 反之,若∑n发散,则∑v发散 n=1 ““小的发,发 证明()设σ 0≤S≤ 2今Sn≤S≤M 且sn=1+2+…+in≤v1+v2+…+ 即部分和数列有界 ∑u收敛 n=1
且u v (n = 1,2,) n n ,若 n=1 n v 收敛,则 n=1 un收敛； 反之，若 n=1 un发散，则 n=1 n v 发散. 证明 n u u un 且s = 1 + 2 ++ = = 1 (1) n n 设 v , n n u v , 即部分和数列有界 . 1 收敛 = n un 设 和 均为正项级数， = =1 n 1 n n n 3.比较审敛法 u v n v + v ++ v 1 2
(2)设Sn>(n→>)且乱n≤vn, 则an≥Sn→>0不是有界数列 ∑ν发散 定理证毕 推论:若∑n收敛(发散) 且n≤An(n≥N(knv),则∑收敛(发散 比较审敛法的不便:须有参考级数
n n 则 s (2) s → (n → ) 设 n , n n 且 u v → 不是有界数列 . 1 发散 = n n v 推论: 若 n=1 un 收敛(发散) 且 ( )( ) n n n n v ku n N ku v ,则 n=1 n v 收敛(发散). 定理证毕. 比较审敛法的不便: 须有参考级数
例1讨论P级数 11 1+++n+…+,+…的收敛性(P>0) 23 n 请额:2发 解设p≤1,≥,则P-级数发散 n 设p>1由图可知< 111 rp(ps S.=1++—+…+ 23 dx ≤1+ ×
例 1 讨论 P-级数 + p + p + p ++ p + n 1 4 1 3 1 2 1 1 的收敛性.( p 0) 解 设 p 1, , 1 1 n n p 则P −级数发散. 设 p 1, o y x ( 1) 1 = p x y p 1 2 3 4 由图可知 − n n p p x dx n 1 1 n p p p n s 1 3 1 2 1 = 1+ + ++ − + + + n n p p x dx x dx 1 2 1 1