去系与集合的说明 口关系是集合,集合运算对于关系也是适用的。 口规定: 关系运算中逆运算优先于其它运算 所有的关系运算都优先于集合运算, 优先权的运算以括号决定运算顺序 口例如: ran F-1 FOGUFOH ran(F↑A)
关系与集合的说明 ❑ 关系是集合，集合运算对于关系也是适用的。 ❑ 规定： –关系运算中逆运算优先于其它运算 –所有的关系运算都优先于集合运算， –优先权的运算以括号决定运算顺序。 ❑ 例如： –ran F-1 –FG∪FH –ran (F↑A)
例题 口设A表示是学校的所有学生的集合,B表示学校的所有课程的集 合,并设R由所有有序对<a,b>组成,其中a是选修课程b的学生 。R2由所有的有序对<a,b>构成,其中课程b是a的必修课。则关 系R1UR2、R1∩R2、R1⊕R2、R1R2、R2-R的含义为 口R1UR2:a是一个学生,他或者选修了课程b,或者课程b是他的 必修课。 口R1∩R2:a是一个学生,他选修了课程b并且课程b也是a的必修 课 口R1⊕R2:学生a已经选修了课程b,但课程b不是a的选修课,或 者课程b是a的必修课,但是a没有选修它 口R1一R2:学生a已经选修了课程b,但课程b不是a的选修课。 口R2一R1;课程b是学生a的必修课,但是a没有选修它
例题 ❑ 设A表示是学校的所有学生的集合，B表示学校的所有课程的集 合，并设R1由所有有序对<a,b>组成，其中a是选修课程b的学生 。R2由所有的有序对<a,b>构成，其中课程b是a的必修课。则关 系R1∪R2、R1∩R2、R1⊕R2、R1－R2、R2－R1的含义为 ❑ R1∪R2：a是一个学生，他或者选修了课程b，或者课程b是他的 必修课。 ❑ R1∩R2：a是一个学生，他选修了课程b并且课程b也是a的必修 课。 ❑ R1⊕R2：学生a已经选修了课程b，但课程b不是a的选修课，或 者课程b是a的必修课，但是a没有选修它。 ❑ R1－R2：学生a已经选修了课程b，但课程b不是a的选修课。 ❑ R2－R1：课程b是学生a的必修课，但是a没有选修它
定理7.1 定理7.1设F是任意的关系,则 (1)(F1)-1=F (2 )dom F-1=ran F, ran F-1=dom F 证明 (1)任取<x,y>,由逆的定义有(2)任取x <x,y>∈(F1)-1 x∈domF1 分<y,x>∈F-1 分丑y(x,y>∈F1) 台<x,y>∈F 分彐y(y,X>∈F 今ⅹ∈ranF 所以有domF1=ranF
定理7.1 定理7.1 设F是任意的关系，则 (1)(F -1) -1＝F (2)dom F-1＝ran F，ran F-1＝dom F (1)任取<x,y>，由逆的定义有 <x,y>∈(F-1) -1 <y,x>∈F -1 <x,y>∈F (2)任取x x∈dom F -1 y(<x,y>∈F-1) y(<y,x>∈F) x∈ran F 所以有 dom F-1＝ran F 证明
定理72 定理7.2设F,G,H是任意的关系,则 (1)(F°G)H=F°(GH (2)(F°G)-1=G-1°F 证明 (1)任取<x,y>, <x,y>∈(FG) 分丑t(x,t>∈FG∧(t,y)∈H 分就(s(x,s>∈F∧<s,t>∈G)∧<t,y>∈H 分丑t彐s(x,s>∈F∧<s,t>∈G∧<t,y>∈H 分彐s(<x,s>∈F∧(s,t>∈G∧<t,y>∈H) 分彐s(x,s>∈F∧<s,y>∈GPH 台<x,y>∈F°(G°H
定理7.2 定理7.2 设F，G，H是任意的关系，则 (1)(FG)H＝F(GH) (2)(FG)-1＝G -1 F -1 证明 (1)任取<x,y>， <x,y>∈(FG)H t(<x,t>∈FG∧(t,y)∈H) t(s(<x,s>∈F∧<s,t>∈G)∧<t,y>∈H) ts(<x,s>∈F∧<s,t>∈G∧<t,y>∈H) s(<x,s>∈F∧t(<s,t>∈G∧<t,y>∈H)) s(<x,s>∈F∧<s,y>∈GH) <x,y>∈F(GH)
定理72 定理7.2设F,G,H是任意的关系,则 (1)(F°G)H=F°(GH) (2)(F°G)1=G1F1 证明 (2)任取<x,y> <x,y>∈(FG)-1 令<y,X>∈FG 分彐t(y,t>∈F∧<t,x>∈G 分丑(t,y>∈F1∧<x,t>∈G1) 分<x,y>∈G1°F-1
定理7.2 定理7.2 设F，G，H是任意的关系，则 (1)(FG)H＝F(GH) (2)(FG)-1＝G -1 F -1 证明 (2)任取<x,y>， <x,y>∈(FG)-1 <y,x>∈FG t(<y,t>∈F∧<t,x>∈G) t(<t,y>∈F-1∧<x,t>∈G-1) <x,y>∈G-1 F -1