复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第七章 Fourier变换 Fourier transforms

(-0)+f(+0)]2.即 f(t)= √2z f(oe do f(edi 上面一对等式上方的积分称为 Fourier积分,其中f(o)由下方等式 决定。f(o)称为∫()的 Fourier变换,记为:f(1)分f(o),f(1)和f(o) 分别称为原函数和象函数。当t是时间变量时,O则是频率。 f()+ 2丌 2r J/(or? f(o'e"o"do"di=S =f(o)(0-0)do'=f(o) 当在坐标变量x和动量(波数k)之间变换时,则习惯采用下面的变换 f() f(x)4>∫(k) f(k)= f(x)e“ Remarks1:limf(t)=0由 Jordan引理决定。当z→>∞ (0≤ag≤x,即Im≥0)时,f(=)→0(此限制条件为一致地趋于0),则 im[f( =e dz=0(实常数m>0),其中C2是以原点为圆心,半径为R 的上半圆周,即z=Re(0≤0<) Remarks2:⊥(o)有限的要求可以推广,即()=cm除外。这是因 为对于连续谱的平面波,其“归一化”系数为δ(O-)函数 2. Fourier变换的基本性质:[f(x)>f(k)为例] (1)线性定理:c1f1(x)+c2(x)c1f(k)+c2/2(k),(c1,c2是复常数) (2)相似定理:f(am)分/k (a≠O, scaling

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU 6 于 f (t  0)  f (t  0)/ 2. 即 1 ( ) ( ) d ; 2 1 ( ) ( ) d . 2 i t i t f t f e f f t e t                       上面一对等式上方的积分称为 Fourier 积分，其中 ( ) ~ f  由下方等式 决定。 ( ) ~ f  称为 f (t) 的 Fourier 变换，记为： ( ) ~ f (t)  f  ， f (t) 和 ( ) ~ f  分别称为原函数和象函数。当 t 是时间变量时，  则是频率。 1 1 1 ' ( ') ( ) [ ( ') d '] d ( ')[ d ]d ' 2 2 2 ( ') ( ')d ' ( ). i t i t i t f t f e e t f e t f f                                        当在坐标变量 x 和动量(波数 k )之间变换时，则习惯采用下面的变换： 1 ( ) ( ) d ; 2 1 ( ) ( ) d . 2 ikx ikx f x f k e k f k f x e x                  ( ) ~ f (x)  f k . Remarks 1 ： lim ( ) 0 t f t   由 Jordan 引 理 决定。 当 z   (0  arg z  ,即Imz  0) 时, f (z) 0 (此限制条件为一致地趋于 0), 则 lim ( ) d  0   f z e z imz R CR (实常数m  0) ，其中 CR 是以原点为圆心，半径为 R 的上半圆周, 即 e (0 ). i z R       Remarks 2：    f (t) dt 有限的要求可以推广，即 ' ( ) i t f t e   除外。这是因 为对于连续谱的平面波，其“归一化”系数为    ( ')  函数： ( ') d 2 ( '). i t e t            2. Fourier 变换的基本性质：[ ( ) ~ f (x)  f k 为例] （1） 线性定理： ( ) ~ ( ) ~ ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 c f x  c f x  c f k  c f k ，（ 1 2 c c, 是复常数） （2） 相似定理： 1 ( ) k f ax f a a        a  0，scaling

证明:f(ax) f(ar)e dr=I a√2丌 (3)求导定理: 若∫m(x)=0.,(m=02,…,n-1),则 →± (x)>(ik)"f(k),(n=12,3…) 若f(k)=0,(m=012…,n-1)则 → (-x)f(x)分f(k),(m=1,2,3,…) f(x)+5r(r) ikdr e df(x) 证明: f(x)e +ik f(x)e dx=(ik)f(k) 相似地,利用归纳法可以证明更高阶导数定理。 (4)积分定理: 若厂/(5=0,则厂/5分水f(6) 若∫()n=0,则-()4/(m)n 证明:记dx)=f(d5, 因为f5=0,所以xm=0,因此由导数定理: q(x)>i列(k).又因为 d(x)=f(5)d5,p(x)=8(x)f(g(x)-h(x)f((x 可得q(x)=f(x)(>f(k) 所以有例(6)≈f(),即(5d5k( i (5)延迟定理:f(x-5)ef(k) 位移定理:f(x)e纱f(k+x) 证明延迟定理:

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 7 Fourier transforms YLMa@Phys.FDU 7 证明： 1 1 1 1 ( ) ( ) d ( ) d 2 2 k i ikx a k f ax f ax e x f e f a a a                       . （3）求导定理： 若 ( ) ( ) 0, ( 0,1, 2, , 1) m x f x m n     ，则     ( ) ( ) , ( 1,2,3, ). n n f x ik f k n   若 ( ) ( ) 0, ( 0,1,2, , 1), m k f k m n     则     ( ) ( ) , ( 1,2,3, ). n n    ix f x f k n 证明：   1 1 ( ) ( ) d d ( ) 2 2 1 ( ) ( ) d ( ). 2 ikx ikx x ikx ikx f x f x e x e f x f x e ik f x e x ik f k                          相似地，利用归纳法可以证明更高阶导数定理。 （4）积分定理： 若 f ( )d 0       ，则 1 ( )d ( ) x f f k ik      . 若 f ( )d 0       ，则 1 ( ) ( )d k f x f ix       . 证明：记 ( ) ( )d x    x f    ， 因为 f ( )d 0       ，所以 ( )  0 x  x ，因此由导数定理： ( ) ~ (x) ik k . 又因为 ( ) ( ) ( ) ( )d , g x h x    x f    '( ) '( ) ( ( )) '( ) ( ( )), x g x f g x h x f h x   可得 ( ) ~ (x)  f (x)  f k . 所以有 ik f k k ( ) ~ ( ) ~  , 即 1 ( )d ( ) x f f k ik      . （5） 延迟定理： f x e f k  ik ~ ( )      . 位移定理：       f x e f k i ~ ( ) . 证明延迟定理：