(i)y=f(x)为一般的连续函数时 y=f(x) mas 6 a3 ol\a C 56 max=max( ma, ma,, ma, ma,, ma, ma, ma, mb) x∈a,b] min = min m. m. m.m. ms m. m. m x∈[a,b
(ii) y = f (x) 为一般的连续函数时 max max{ , , , , , , , } 1 2 3 4 5 6 [ , ] a a a a a a a b x a b = m m m m m m m m min min{ , , , , , , , } 1 2 3 4 5 6 [ , ] a a a a a a a b x a b = m m m m m m m m x y a a1 a2 a3 a4 a5 a6 b ma mb y = f (x) O 1 ma 2 ma a3 m 4 ma 5 ma 6 ma
定理(最大值和最小值定理) 若f(x)∈C([a,b]),则它在该翊区间 上,至少取到它的最大值和最小值各一次 在定理中,闭区间的条件是很重要的,例如, y=x在(1,3)內连续,但它不能取到它的最大 值和最小值
(最大值和最小值定理) 若 f (x) C ( [a, b] ) , 则它在该闭区间 上, 至少取到它的最大值和最小值各一次 . 在定理中, 闭区间的条件是很重要的, 例如, y = x 在 (1, 3) 内连续, 但它不能取到它的最大 值和最小值. 定理
推论若f(x)∈([a,b),则f(x)在[a,b上有界 y y=f(r) mas 2 3 o\az 6 x nIVa 看图就知道如何证明了
若 f (x)C( [a, b] ), 则 f (x) 在 [a, b] 上有界. x y a a1 a2 a3 a4 a5 a6 b ma mb y = f (x) O 1 ma 2 ma a3 m 4 ma 5 ma 6 ma 看图就知道如何证明了. 推论
_∵f(x)∈C([a,6) f(x)在[a,b上可取到它的最大值M和 最小值m, 故m≤f(x)≤M,x∈[a,b 令M=max{lml,M},则 f(x)|≤M, x∈a 即f(x)在[a,b]上有界
f (x) 在 [a, b] 上可取到它的最大值 M 和 f (x)C ( [a, b] ) 故 m f (x) M , x[a, b], | f (x) | M* , x[a, b], 令 M* = max { |m|, | M| }, 则 即 f (x) 在 [a, b] 上有界. 最小值 m , 证