非线性物理：孤波物理 孤子的基本性质： ·大致分析一下形成孤子的物理条件。先看微分方程： un a'us,x<,t >0 ·这是通常的弦振动方程，线性无色散，为任意函数，通解为： u fx+at)+g(x-at) g(-a表示t=0时波形gx的波 g(x-at) 在t时刻向右平移a距离，即右 行波；而f在+表示左行波
非线性物理：孤波物理 孤子的基本性质： • 大致分析一下形成孤子的物理条件。先看微分方程： • 这是通常的弦振动方程，线性无色散，u为任意函数，通解为： • g(x-at)表示t=0时波形g(x)的波 在t时刻向右平移at距离，即右 行波；而f(x+at)表示左行波
非线性物理：孤波物理 ·这一方程没有什么实际物理，相比较看微分方程： u,+uxe=0 也是线性方程，但是包含色散项4，其通解为： u(x,t)=expli(kx-ot) u(x,t=∑Cexpli(kx-ot刀 o为圆频率，k=2π九为波数，为波长，Fk3,相速为ok=k2与k 有关，即所谓色散。所以通解应该是求和表达式
非线性物理：孤波物理 • 这一方程没有什么实际物理，相比较看微分方程： • 也是线性方程，但是包含色散项uxxx，其通解为： • 为圆频率，k=2/为波数，为波长，=k3，相速为/k=k2与k 有关，即所谓色散。所以通解应该是求和表达式
非线性物理：孤波物理 再考虑一个非线性但是无色散的微分方程： u,+uu,=0 uw为非线性项，行波解是u=uc-v且波速=u,意即波形上不同 高度点的速度不同，波速与高度成正比，因此波形在传播过程中 一定发生变化： (大 w小 1=0 >0
非线性物理：孤波物理 • 再考虑一个非线性但是无色散的微分方程： • uux为非线性项，行波解是u=u(x-vt)且波速v=u，意即波形上不同 高度点的速度不同，波速与高度成正比，因此波形在传播过程中 一定发生变化：
非线性物理：孤波物理 最后考虑KdV方程： u:ouux +ux0 4x为色散项，6uw为非线性项，两者相互抵消，得到孤波解： u(x,t)=-2k'sech'fk(x-4kt-x) 可见波幅与波速关联，导致波幅高 者波速大，典型孤波特征。 ·产生孤子的物理条件：色散与非线 性共存并微妙竞争
非线性物理：孤波物理 • 最后考虑KdV方程： • uxxx为色散项，6uux为非线性项，两者相互抵消，得到孤波解： • 可见波幅与波速关联，导致波幅高 者波速大，典型孤波特征。 • 产生孤子的物理条件：色散与非线 性共存并微妙竞争
非线性物理：孤波物理 孤子代表的物理过程有一些共同的性质： ()能量有限，且分布在有限的空间范围内。 (2)弹性碰撞。 孤波在传播过程中不会弥散，而波包会弥散。冲击波波形前段是 奇异的，也不是孤波。 波 冲击波
非线性物理：孤波物理 • 孤子代表的物理过程有一些共同的性质： • (1) 能量有限，且分布在有限的空间范围内。 • (2) 弹性碰撞。 • 孤波在传播过程中不会弥散，而波包会弥散。冲击波波形前段是 奇异的，也不是孤波