Th3设∑un为正项级数,且彐N。及q(0<q<1),n>N0时 q ∑un u 证1〉不妨设n≥1时就有-≤q<1成立,有 2≤q,当≤q,…,"≤q,…依次相乘,→“≤q",即 un≤q”.由0<q<1,得∑q"<+,→∑n<+∞ 〉可见{un}往后递增,→un0,(n→>∞) 系(检比法的极限形式)设∑un为正项级数,且lm=q.则 ∑ un <+oo >1或 註倘用检比法判得∑un=+∞,则有n今0,(n→∞).检比法适用于 ln和n1有相同因子的级数,特别是ln中含有因子n!者 例4判断级数二++ 2.5+25:8++258(2+3n-1) 的敛散性 l1.51.5.9 159…(1+4(n-1) =二<1 <+∞ n→1+4n4 例5讨论级数∑mx(x>0)的敛散性 n=(n+1)xx.n+1 →x,(n→∞).因此,当0<x<1时 ∑<+∞;x>1时,∑=+∞;x=1时,级数成为∑n,发散 2n+1 例6判断级数∑的敛散性 注意对正项级数∑un,若仅有<1,其敛散性不能确定。例如对级数 ∑和∑立,均有<1,但前者发散,后者收敛
Th 3 设∑un 为正项级数 , 且 ∃ N0 及 0 < < > , ) 10 ( Nnqq 时 ⅰ> 若 1 1 <≤ + q u u n n , ⇒ ∑un < + ∞ ; ⅱ> 若 1 1 ≥ + n n u u , ⇒ ∑ = . un ∞+ 证 ⅰ> 不妨设 n ≥ 1时就有 1 1 <≤ + q u u n n 成立 , 有 " , , , , " 2 1 3 1 2 q u u q u u q u u n n ≤≤ ≤ − 依次相乘 , ⇒ 1 1 − ≤ n n q u u , 即 n ≤ 1quu n−1 . 由 q << 10 , 得 ∑ <n q + ∞ , ⇒ ∑un < + ∞ . ⅱ> 可见 }{ 往后递增 , un ⇒ un →/ , 0 n → ∞ ) ( . 系 ( 检比法的极限形式 ) 设 为正项级数 ∑un , 且 q u u n n n = + ∞→ 1 lim . 则 ⅰ> q <1 , ⇒ ∑un < + ∞ ; ⅱ> q >1或 = q + ∞ , ⇒ ∑un = + ∞ . 註 倘用检比法判得 ∑ = , 则有 un ∞+ un →/ , 0 n → ∞ ) ( . 检比法适用于 和 有相同因子的级数, 特别是 中含有因子 者. un un+1 un n! 例 4 判断级数 ( ) ( ) " " " " + −+⋅⋅ ⋅ ⋅ + − ++ ⋅⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + )1(41951 )1(32852 951 852 51 52 1 2 n n 的敛散性. 解 1 4 3 41 32 lim lim 1 <= + + = ∞→ + ∞→ n n u u n n n n , ⇒ ∑ +∞< . 例 5 讨论级数∑ > 的敛散性. − )0( 1 xnx n 解 ) ( , 1)1( 1 1 → ∞→ + ⋅ + = − + nx n n x nx xn u u n n n n . 因 此 , 当 < x < 10 时 , ∑ +∞< ; x > 1时, ∑ +∞= ; x = 1时, 级数成为∑n , 发散. 例 6 判断级数∑ + n n n n!2 1 的敛散性 . 注意 对正项级数 ，若仅有 ∑un 1 1 < + n n u u ，其敛散性不能确定 . 例如对级数 ∑ n 1 和 ∑ 2 1 n , 均有 1 1 < + n n u u ，但前者发散, 后者收敛 . 138
2.检根法( Cauchy判别法)也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法 Th4设∑n为正项级数,且彐N。及l>0,当n>N时 ∑ ∑un=+∞(此时有n0,( 系(检根法的极限形式)设∑n为正项级数,且 lima/u,=1.则 < 1>1,→∑un 检根法适用于通项中含有与n有关的指数者.检根法优于检比法(参阅[P15) 例7研究级数∑ 的敛散性 解 lima/u=lim ∑ <+0 2 例8判断级数y(1+n和1+n 的敛散性 解前者通项不趋于零,后者用检根法判得其收敛 3.积分判别法 Th5设在区间[1,+∞)上函数f(x)20且、则正项级数∑f(m)与积分 ∫f(x)dk共敛散 证对VA>1,∫∈R[1,A且 →∑/(m)sf(x)s∑/(m-)=∑/(m 例9讨论p-级数 的敛散性 n=I n 解考虑函数f(x)=-,P>0时f(x)在区间[1,+∞)上非负递减.积分 ∫(x)dx当p>1时收敛,0<p≤1时发散 级数 ∑ 1 当P>1
2. 检根法 ( Cauchy 判别法 ): 也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法. Th 4 设∑ 为正项级数 , 且 及 , 当 时 , un ∃ N0 l > 0 > Nn 0 ⅰ> 若 lu <≤ 1 n n , ⇒ ∑un < + ∞ ; ⅱ> 若 ≥ 1 n un , ⇒ ∑un = ∞+ . ( 此时有un →/ , 0 n → ∞ ) ( .) 系 ( 检根法的极限形式 ) 设 为正项级数 ∑un , 且 n n lu n = ∞→ lim . 则 l < 1 , ⇒ ∑un < + ∞ ; l > 1 , ⇒ ∑un = + ∞ . ( 证 ) 检根法适用于通项中含有与 有关的指数者 n . 检根法优于检比法. (参阅[1]P15 ) 例 7 研究级数 ∑ −+ n n 2 ) 1 (3 的敛散性 . 解 1 2 1 2 )1(3 lim lim <= −+ = ∞→ ∞→ n n n n n n u , ⇒ ∑ +∞< . 例 8 判断级数∑ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 n n n 和∑ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 n n n 的敛散性 . 解 前者通项不趋于零 , 后者用检根法判得其收敛 . 3． 积分判别法 ： Th 5 设在区间 ∞+ ) , 1 [ 上函数 且↘ xf ≥ 0)( . 则正项级数 ∑ nf )( 与积分 共敛散. ∫ +∞ )( dxxf 1 证 对 ∈>∀ ARfA ] , 1[ , 1 且 ∫ − ≤ −≤ = n n nnfdxxfnf 1 , 3 , 2 , )1()()( " ⇒ ∑ ∫ ∑ ∑ = − = = ≤ =−≤ m m n m n m n nfnfdxxfnf 1 2 1 2 1 , )()1()()( "" . 例 9 讨论 p − 级数∑ ∞ =1 1 n p n 的敛散性. 解 考虑函数 p >= x xf p , 1 )( 0 时 xf )( 在区间 + ∞ ) , 1 [ 上非负递减 . 积分 ∫ 当 时收敛 , 时发散. ⇒ 级数 +∞ 1 )( dxxf p > 1 p ≤< 10 ∑ ∞ =1 1 n p n 当 时 p > 1 139