例：利用窗函数法设计一个幅度响应能逼近截止频率2=0.5元rad的低通滤波器H.(ej?)的线性相位FIR滤波器。采用矩形窗截短。解：由于存在吉伯斯现象M=140M=30= =0.09-100滤波器阶数增加，阻-20带衰减不变，但过渡带减小。21dB-30过渡带宽度约为：-400.600.20. 40.81.8元/NNormalized frequencyA=-20lg(1-8,)~0.82dBA.=-20lg8.:21dB
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -40 -30 -20 -10 0 Normalized frequency Gain, dB M=14 M=30 A As s 解： 21dB p p A = − − 2 0 l g ( 1 ) 0 . 8 2 d B d s s A = − 2 0 l g 2 1 d B d 滤波器阶数增加，阻 带衰减不变， 但过渡带减小。 由于存在吉伯斯现象 dp=ds =0.09 过渡带宽度约为： 1.8π/N 例：利用窗函数法设计一个幅度响应能逼近截止频率c=0.5rad的 低通滤波器Hd (ej )的线性相位FIR滤波器。采用矩形窗截短
矩形窗函数设计线性相位FIR滤波器设计结果分析h[k] = ha[k]w [k]N=M+1Ha(ej°)*Wn(eji°)H(ej?)=2元利用DTFT的性质可得所设计FIR滤波器的幅度函数A(2)A(2) :-- Aa(0)W(2-0)dA.(2)*W~(2) =三2元JTA(2)逼近A.(2)的好坏，取决于窗函数的幅度频谱W(2)
设计结果分析 [ ] [ ] [ ] d h k h k w k = N N=M+1 j j j d 1 (e ) (e ) (e ) 2π H H WN = 矩形窗函数设计线性相位FIR滤波器 利用DTFT的性质可得所设计FIR滤波器的幅度函数A() A()逼近Ad ()的好坏，取决于窗函数的幅度频谱WN()。 d d 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d 2 2π A A W A W N N − == = −
矩形窗函数设计线性相位FIR滤波器矩形窗函数的频谱矩形窗的幅度函数W2)sin(NQ / 2)W(ej°)=e-j2(N-1)/2Ssin(Q / 2)Wx(2)主瓣1.W②)的主瓣宽度4元/N2.旁瓣相对衰减为常数2元4元2元0NNN
矩形窗函数的频谱 j j ( 1)/2 sin( / 2) (e ) e sin( / 2) N N N W − − = 矩形窗的幅度 函数WN () 1. WN()的主瓣宽度4/N 2. 旁瓣相对衰减为常数 WN( ) N N 2π N 4π − π π N 2π − 主瓣 旁瓣 旁瓣 0 矩形窗函数设计线性相位FIR滤波器
矩形窗函数设计线性相位FIR滤波器A(2) =A (2)*W(2)1．窗函数的主瓣宽度决定了H(ej)过2元渡带的宽度，窗函数长度N增大，W(Q-)过渡带减小。2．旁瓣的大小决定了FIR滤波器在阻带的衰减。3.利用矩形窗设计出的滤波器A(Q)阻带最小衰减为-20lg(9%)=21dB0.5Q4如何提高阻带衰减？
A( ) Ω − π − c π 1 0.5 c c 2π N − c 2π N + 1. 窗函数的主瓣宽度决定了H(ej )过 渡带的宽度，窗函数长度N增大， 过渡带减小。 2. 旁瓣的大小决定了FIR滤波器在 阻带的衰减。 3. 利用矩形窗设计出的滤波器 阻带最小衰减为 −20lg(9%)21dB 如何提高阻带衰减? 矩形窗函数设计线性相位FIR滤波器 d 1 ( ) ( ) ( ) 2 A A W = N
加权窗Hanning(汉宁)窗(w=hanning(M)2元k(N-])]R [K]w~[k] = [0.5 - 0.5cos(h[k] = ha[k]w~ [k]1.0064p=d,=0.0064主瓣宽度8元/N()0.0064EC26.2元过渡带Nn15宽度时域波形（M=30）窗函数幅度谱（M=30）滤波器幅度函数A,~ 0.056dB, A 44dB
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 W( ) Hanning(汉宁)窗(w=hanning(N)) 2π [ ] [0.5 0.5cos( ] ] 1 ) [ N N k N w k R k − − = Ap 0.056dB, As 44dB c N 6.2π 0.0064 1 1.0064 1−0.0064 dp=ds =0.0064 [ ] [ ] [ ] d h k h k w k = N 加权窗 0 5 10 15 20 25 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 k W[k] 时域波形（M=30） 窗函数幅度谱（M=30） 滤波器幅度函数 过渡带 宽度 主瓣宽度 8/N