(同学们可以想一下，对于按照定理1的证明过程，哪一步通不过？例1用区间套定理证明连续函数根的存在性定理前页后页返回
前页 后页 返回 证明过程, 哪一步通不过? 1 0 , 1 n 同学们可以想一下,对于 ， 按照定理 的 例1 用区间套定理证明连续函数根的存在性定理
二、聚点定理与有限覆盖定理定义2 设S为数轴上的非空点集，为直线上的一个定点（当然可以属于S.也可以不属于S).若对于任意正数ε，在（-&+)中含有S的无限个点即U(；8)NS=无限集，则称E是的一个聚点前页后页返回
前页 后页 返回 定义2 设 S 为数轴上的非空点集, 为直线上的 一个定点(当然可以属于 S, 也可以不属于S). 若对 于任意正数 ,在 (− , +) 中含有S 的无限个点, 二、聚点定理与有限覆盖定理 即 U S ( ; ) , = 无限集 则称 是 S 的一个聚点
例如：份0是S的一个聚点;-1, 1是 -(-1)"+1)的两个聚点1设 S是[0,1]中的无理数全体,则S的聚点集合S(称为 S的导集)为闭区间[0,1]前页后页返回
前页 后页 返回 = 1 0 S n 是 的一个聚点; 1 1, 1 ( 1) . n S n − = − + 是 的两个聚点 设 S 是 [0, 1]中的无理数全体, 则 S 的聚点集合 S (称为 S 的导集) 为闭区间 [0, 1]. 例如：
两个与定义2等价的定义定义2'设O± SCR,EER.若对于任意 ε>0.U；nS+O那么称E是S的一个聚点定义2"若存在各项互异的收敛数列(x,}cS,那么极限limx，=称为S的一个聚点n->oo返回前页后页
前页 后页 返回 两个与定义 2 等价的定义. 定义2 设 若对于任意 S R R , . 0, 定义2″若存在各项互异的收敛数列 {x } S, n 那么极限 lim x 称 为S的一个聚点. n n = → U S S ( ; ) , . 那么称 是 的一个聚点
三个定义的等价性证明：证明思路：定义2→定义2'→定义2"→定义2定义2>定义2＇由定义直接得到定义2"一→定义2由极限的定义可知这是显然的现由定义2'→定义2'前页后页返回
前页 后页 返回 三个定义的等价性证明： 定义2 → 定义2 由定义直接得到. 定义2→定义2 由极限的定义可知这是显然的. 现由定义2 → 定义2 证明思路： 定义2 → 定义2 → 定义2 →定义2