设为S的一个聚点由定义>0,U(5;)n0,那么取g =1,3x, eU(5;1)NS;取8, =min1/2,x-),3x, U(5;82)NS;取s, =min1/ n,x-1-),3x, eU(5;8n)nS;后页返回前页
前页 后页 返回 0, ( ; ) 0, U S 那么 1 1 取 = 1, ( ;1) ; x U S 取 2 1 2 2 = − min 1/ 2, , ( ; ) ; x x U S ; . 取 n n n n = − min 1/ , , ( ; ) ; n x x U S −1 设 为 的一个聚点由定义 2 S
这样就得到一列(x,c S.由 ε,的取法,{x 两两互异,并且0</5-x/<8,≤-由此 limx,=5.n80前页后页返回
前页 后页 返回 { } . , { } n n n 这样就得到一列 由 的取法 两两 x S x , 1 0 n − xn n lim . n n x → 由此 = 互异,并且
定理7.2（聚点定理）实数轴上的任意有界无限点集S必有聚点前页后页返回
前页 后页 返回 定理7.2 (聚点定理) 实数轴上的任意有界无限点 集 S 必有聚点
证因为S为有界点集，所以存在正数M.使S c[-M, M], 且记[a,b]=[-M,M]现将[ai,bil等分为两个子区间[aj,cil,[ci,bil其中c,=a+h那么[a,cl,[ci,b,l中至少有一2个区间含有S的无限多个点.记该区间为[a2，b2]后页返回前页
前页 后页 返回 证 因为S为有界点集, 所以存在正数 M, 使 1 1 S M M a b M M − = − [ , ], [ , ] [ , ]. 且记 现将 [a1 , b1 ] 等分为两个子区间 [a1 , c1 ], [c1 ,b1 ], 1 1 1 1 1 1 1 . [ , ], [ , ] 2 a b c a c c b + 其中 那么 = 中至少有一 个区间含有 S 的无限多个点. 记该区间为[a2 , b2 ]
显然有[ai,b,][a2,b,],b, -a, - (b,-a,)= M.再将[a2,b,/等分为两个子区间.同样至少有一个子区间含有S的无限多个点，将这个区间记为[a3,b3]显然又有[a,b[az,b,l-[as,b,],Mb,-a,-,(b,-a,2后页返回前页
前页 后页 返回 [ , ] [ , ], 显然有 a1 b1 a2 b2 2 2 1 1 1 ( ) . 2 b a b a M − = − = 再将[a2 , b2 ]等分为两个子区间. 同样至少有一个子 区间含有 S 的无限多个点, 将这个区间记为[a3 , b3 ]. 1 1 2 2 3 3 显然又有[ , ] [ , ] [ , ], a b a b a b . 2 ( ) 2 1 3 3 2 2 M b − a = b − a =