《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第七章 实数的完备性

因为 (a,递增,(b,递减,所以an≤≤bn,这样就证明了的存在性下面来证明唯一性.设也满足an≤5≤bn,那么/-5/<b, -a,→0. 即 =5i,惟一性得证返回前页后页

前页 后页 返回 因为 {an } 递增, {bn } 递减, 所以 , an    bn 下面来证明唯一性. 设 1 也满足 , n 1 n a    b 这样就证明了  的存在性. 1 那么   −  − → 1 b a n n 0. 即  = , . 惟一性得证

推论设([an,b)是一个区间套，[an,b,l,n=1,2,.……. 则任给ε>0, 存在 N,当 n ≥N 时,[an,b,/cU(5;),前页后页返回

前页 后页 返回 [ , ] ( ; ). n n a b U    n = 1, 2, . 则任给 > 0, 存在 N, 当 n  N 时, 推论 设 {[an ,bn ]} 是一个区间套, [ , ], n n   a b

证由区间套定理的证明可得：lima, = limb, = 5.n→0n0o由极限的保号性，对于任意正数ε.存在N当n≥N时,有5-e<a,,b,<5+s即 -<a,≤b,<+8,这就是说[an, b,Ic(5-8, 5 +),后页返回前页

前页 后页 返回 证 由区间套定理的证明可得: lim lim . n n n n a b  → → = = 由极限的保号性, 对于任意正数  , 存在 N, n n [ , ] ( , ). a b  − +     当 时 有 n N  , , . n n     −   + a b n n 即     −    + a b , 这就是说

注1该推论有着很强的应用价值，请大家务必牢记注2区间套定理中的闭区间若改为开区间，那么结(显然论不一定成立.例如对于开区间列前页后页返回

前页 后页 返回 注1 该推论有着很强的应用价值,请大家务必牢记. 注2 区间套定理中的闭区间若改为开区间, 那么结 论不一定成立. 例如对于开区间列 , 显然 1 0 n            

1 (0元)-(0) "-1, , m(10)-0.2.但是定理1中的是不存在的，这是因为(0.,)-0.前页后页返回

前页 后页 返回 但是定理1中的是不存在的, 这是因为 1 1 0, . n n  =     =    1 1 1. 0, 0, , 1, 2, , 1 n n n          =     + 1 2. lim 0 0. n→ n     − =  